2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)

Пусть задано множество фазового пространства .

Определение 2.7. Функцией от множества называется множество образов всех точек из множества .

Функция от множества обозначается как .

Определение 2.8. Множество фазового пространства называется инвариантным по отношению к фазовому потоку множеством или просто инвариантным множеством, если для всех допустимых имеет место .

Т. е. множество и его образ при отображении совпадают.

Определение 2.9. Многообразием называется множество евклидова пространства , имеющее в каждой своей точке единственную касательную гиперплоскость.

В этом случае говорят, что множество гладко вложено в . Если множество гладко вложено в фазовое пространство системы дифференциальных уравнений, то говорят, что является подмногообразием фазового пространства.

Определение 2.10. Инвариантное многообразие векторного поля и соответствующей системы дифференциальных уравнений – это такое подмногообразие фазового пространства, которое в каждой своей точке касается векторного поля.

Рассмотрим линейный оператор . Пространство распадается на прямую сумму трех подпространств:

.

Все три подпространства в правой части равенства инвариантны относительно оператора . Спектр ограничения оператора на подпространство лежит в открытой левой полуплоскости. Спектр ограничения оператора на  – в правой полуплоскости. Спектр ограничения оператора на  – на мнимой оси. Для оператора , являющегося оператором линеаризации векторного поля уравнения (1.1) в гиперболической особой точке, имеем . Схематично инвариантные многообразия линейной и нелинейной системы представлены на рис. 2.6.

Теорема 2.3. (теорема Адамара–Перрона). Пусть есть  – гладкое векторное поле с гиперболической особой точкой в нуле и линейной частью в нуле, ,  – подпространства, соответствующие оператору . Тогда система дифференциальных уравнений имеет два  – гладких инвариантных относительно многообразия и , проходящих через и касающихся в нуле плоскости и , соответственно. Решения с начальными условиями на многообразии ( ) экспоненциально стремятся к нулю при ( ). Многообразие называется устойчивым, а  – неустойчивым многообразием особой точки .

Рис. 2.6. Инвариантные многообразия

линейной (а) и нелинейной (б) системы

Теорема 2.4. (теорема о центральном многообразии). Если в условиях предыдущей теоремы оператор имеет собственные значения также и на мнимой оси, т. е. , то система дифференциальных уравнений (1.1) имеет третье  – гладкое инвариантное многообразие , проходящее через и касающееся в нуле подпространства .

Многообразие называется центральным многообразием, а подпространство  – подпространством гиперболических переменных. Поведение фазовых кривых на многообразии определяется нелинейными членами.

Пример. Инвариантные множества каскада (линейного отображения). Для линейных дискретных систем отображение выписывается в явном виде . Инвариантными множествами будут линейные оболочки (подпространства) собственных векторов матрицы , среди которых выделяются три: (устойчивое) подпространство собственных векторов, отвечающих собственным числам ; (неустойчивое) – подпространство собственных векторов, отвечающих собственным числам ; (центральное) – подпространство собственных векторов, отвечающих собственным числам .

Эти подпространства используются при линеаризации дискретных систем (1.9) в окрестности неподвижных точек.