1.1. Потоки

Рассмотрим вещественное конечномерное линейное пространство . Векторным полем , заданным в области пространства , будем называть отображение, которое каждой точке ставит в соответствие приложенный к ней вектор пространства .

Системой дифференциальных уравнений, соответствующей векторному полю , называется система

, , (1.1)

где точка над буквой означает дифференцирование по . Область называется фазовым пространством системы, а прямое произведение  – расширенным фазовым пространством. Здесь  – интервал вещественной оси времени .

Система (1.1) называется автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Неавтономной называется система, правая часть которой зависит от времени :

, , . (1.2)

Семейством обыкновенных дифференциальных уравнений называется множество систем вида

, , , , (1.3)

которые заданы в области фазового пространства векторными полями и зависят от координат векторов параметров , лежащих в области пространства .

Автономным семейством обыкновенных дифференциальных уравнений называется семейство уравнений (1.3), правая часть которых от времени не зависит

, , . (1.4)

Семейство вида (1.4) используется для исследования устойчивости динамической системы по отношению к изменениям параметра .

Определение 1.1. Решением системы дифференциальных уравнений (1.2) называется дифференцируемое отображение интервала вещественной оси в фазовое пространство , если для любого выполнено соотношение

.

Если вектор-функция класса , в и  – произвольная точка , то по теореме существования и единственности найдется такое , что на промежутке существует единственное решение системы (1.1) с начальным условием .

Определение 1.2. Интегральной кривой системы дифференциальных уравнений называется график отображения , т. е.

,

а фазовой кривой – проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль оси , т. е. множество точек вида , .

Фазовые кривые также называются траекториями решений системы дифференциальных уравнений (кратко – траекториями динамической системы).

В дальнейшем будем рассматривать неограниченный временной интервал ( ) и полагать, что начальный момент времени .

Обозначим траекторию системы (1.1) с начальными данными в виде

. (1.5)

При сделанных допущениях система (1.1) порождает отображение , обладающее следующими свойствами:

‑ для всех ; (1.6)

‑ для любых ; (1.7)

‑  . (1.8)

Свойство (1.6) следует из определения траектории (1.5). Его иногда формулируют так: ограничение на является тождественным отображением (и пишут: ). Равенство (1.7) – основное тождество автономных систем. В свойстве (1.8) ‑кратная непрерывная дифференцируемость по следует из теоремы о дифференцируемости решений по начальным данным, ‑кратная дифференцируемость по следует из определения решения и ‑кратной дифференцируемости по .

Определение 1.3. Отображение со свойствами (1.6) – (1.8) называется гладким потоком, или гладкой динамической системой с непрерывным временем на .

Определение 1.4. Множество

называется орбитой, или траекторией точки под действием потока .

Определение 1.5. Функция

называется движением точки .

Динамическая система – это тройка , состоящая из пространства состояний или фазового пространства (метрическое пространство или многообразие) и однопараметрической непрерывной группы (полугруппы) его преобразований – отображения , записываемого . Параметр группы, обозначаемый , – время. Элементы множества представляют всевозможные состояния системы. Состояние, получающееся из после воздействия отображения в течение времени , будем обозначать как . Иначе,  – вектор, представляющий решение дифференциального уравнения (1.1) в момент времени с начальным условием .

В качестве фазового пространства могут выступать:

‑  -мерное евклидово пространство или некоторая его область (например, отрезок );

‑  -мерный тор (например, окружность).

Отображение в этом случае, по крайней мере, локально, является обычной векторной функцией векторного аргумента. То есть для любого вектора (точки) и существует единственный вектор (точка) .

Для траекторий может выполняться одна из трех возможностей:

‑ либо , в этом случае точка называется точкой покоя, или состоянием равновесия;

‑ либо траектория соответствует периодическому решению, отличному от постоянного, в этом случае существует такое число , что , а сама траектория называется периодической, или замкнутой;

‑ либо для любых .