3.3.4. Физическая мера

Понятие “физической меры” возникло из следующего простого соображения. Инвариантных мер у динамической системы может быть много. Но если взять конкретную систему, получить численно достаточно длинную траекторию на аттракторе и вычислить сумму (3.21), то результат будет отвечать не бесконечному числу мер, а некоторой одной, вполне конкретной, выделенной траектории, которая и соответствует реальному, “физическому” поведению системы. Ее и надо иметь в виду, когда упоминается свойство эргодичности. Такую меру принято называть физической или колмогоровской мерой.

Удовлетворительного определения физической меры, пригодного на все случаи жизни, пока не существует. Одна из идей связана с тем, что в реальных системах всегда присутствует малый шум. Если система имеет единственный аттрактор, то при введении шума остается единственная мера, которая при стремится к нужной физической мере. Когда у системы несколько аттракторов, добавление гауссового шума или виноровского случайного процесса приводит иногда к перескакиванию с одного аттрактора на другой. Мера системы с таким шумом растекается по всем аттракторам сразу. В таких случаях физической меры не существует.

В гамильтоновых системах существование инвариантной меры часто вытекает из теоремы Лиувилля. Рассмотрим в ‑мерном пространстве систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (3.22)

у которой правые части принадлежат классу . Мы можем определить поток , где есть решение системы (3.22), для которого . Пусть  – неотрицательная интегрируемая функция. С ее помощью можно построить меру . Теорема Лиувилля утверждает, что если определить меру равенством , то будет иметь плотность , удовлетворяющую уравнению

. (3.23)

Уравнение (3.23) – уравнение неразрывности. Из него видно, что будет инвариантной мерой для потока , если . Иногда такая мера называется мерой Лиувилля, а последнее уравнение – стационарным уравнением Лиувилля.

В диссипативных системах, где , вообще говоря, может не быть инвариантной меры, задаваемой плотностью по мере Лебега, поскольку характеризует уменьшение меры Лебега любого множества под действием динамической системы. В таких системах, возможно, что сама динамика “вырабатывает” естественную инвариантную меру. Предположим, что для потока , определяемого системой (3.22), имеется компактная область с гладкой границей , и на границе векторное поле направлено внутрь . Тогда при всех . Образуем пересечение . Часто такое пересечение называется аттрактором. Пусть  – произвольная абсолютно непрерывная мера, сосредоточенная в компактной области . Тогда мера , где , сосредоточена в области . Если существует слабый предел мер при , то этот предел будет инвариантной мерой, поскольку для любой непрерывной функции , сосредоточенной в области , имеем

.

Ясно, что мера сосредоточена на аттракторе. Особенно важен случай, когда мера не зависит от выбора начальной меры . Тогда ее естественно принять за инвариантную меру, которая вырабатывается динамической системой.