2.4.1. Понятие устойчивости

Объектами научного исследования, как правило, выступают явления, которые на малые внешние воздействия отвечают малыми изменениями состояний. Это свойство и называется устойчивостью. Устойчивостью должны обладать математические модели, описывающие изучаемые явления, в том числе, и динамические системы.

У динамической системы два основных компонента – фазовое пространство и его преобразование (поток), и оба они могут подвергаться воздействию шума. Шум может изменять начальные данные или в процессе эволюции «сталкивать» точку, определяющую текущее состояние системы, с одной траектории на другую достаточно близкую траекторию. В результате мы имеем дело не с одной траекторией, а с пучком траекторий. Для описания движения системы важно знать поведение не только отдельно взятой траектории, а всего пучка.

Поток может зависеть от каких-либо параметров. Шум может влиять на эти параметры, меняя само отображение. Какие-то изменения параметров несущественны и приводят лишь к количественным изменениям в поведении системы. Другие вызывают качественные изменения траекторий, вплоть до изменения их топологических свойств.

Под устойчивостью можно понимать воспроизводимость того или иного свойства системы при наличии воздействий на систему.

Воспроизводимость отдельной траектории. Ей соответствует устойчивость по Ляпунову – малые отклонения начальных данных ведут к малым искажениям траектории. Это одно из наиболее популярных определений устойчивости, однако, оно не выполняется для систем с хаотическим поведением. С понятием устойчивости по Ляпунову тесно связано понятие ‑предельного множества.

Воспроизводимость асимптотического поведения ансамбля траекторий. Все траектории, начинающиеся в некоторой области фазового пространства, притягиваются к одному и тому же инвариантному множеству. При этом устойчивость каждой отдельной траектории не предполагается. Устойчивость ансамбля траекторий определяется устойчивостью инвариантного множества по Ляпунову, которая тесно связана с понятием аттрактора.

Воспроизводимость повторного появления траектории в сколь угодно малой окрестности некоторой ее точки. Этот тип устойчивости – своеобразное обобщение свойства периодичности. Этому признаку отвечает так называемая устойчивость по Пуассону. С ней тесно связано понятие неблуждающего множества динамической системы, а также свойство эргодичности и понятие инвариантной меры.

Воспроизводимость топологической структуры траекторий динамической системы при возмущении отображения (сохранение количества и взаимного расположения инвариантных и предельных множеств, направления движения по траектории и т.п.). Воспроизводимости топологической структуры соответствует понятие структурной устойчивости или «грубости» динамической системы.

Как связаны эти четыре понятия? Из устойчивости траекторий по Ляпунову обычно следует устойчивость инвариантного множества, откуда в свою очередь следует устойчивость по Пуассону. Структурная устойчивость стоит особняком.