2.4.3. Устойчивость по Пуассону

В случае сложных временных режимов, например, автоколебания с несколькими независимыми частотами или хаос, поведение траектории не является периодическим, однако немного напоминает его: траектория, побывав в какой-нибудь точке, с течением времени возвращается в ее окрестность и проходит достаточно близко от нее. Чем больше время, тем ближе к точке подойдет траектория. Близость к периодическому движению и положено в основу понятия неблуждающего множества и устойчивости по Пуассону.

Определение 2.25. Точка называется неблуждающей для динамической системы, если для любой окрестности точки и для любого сколь угодно большого найдется момент времени , такой что . В противном случае точка называется блуждающей.

Определение 2.26. Множество всех неблуждающих точек динамической системы называется неблуждающим множеством.

Множество всех блуждающих точек открыто (если точка блуждающая, то существует ее окрестность, целиком состоящая из таких точек, в противном случае точка будет неблуждающей), а неблуждающее множество замкнуто.

Неподвижные точки и все точки периодических траекторий являются неблуждающими точками. Для более сложных аттракторов, при условии, что они являются компактными, удается установить даже более сильное свойство – устойчивость по Пуассону. Это результат известной теоремы Пуанкаре о возвращении.

Определение 2.27. Точка называется (положительно) устойчивой по Пуассону, если для любой ее окрестности и для любого найдется момент времени , такой что .

Точка, устойчивая по Пуассону, является неблуждающей. Обратное, вообще говоря, неверно. Понятие неблуждающего множества используется в основном в теоретических построениях. В практических приложениях это понятие используются реже из-за трудностей доказательства данного свойства.