2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением

Пусть система (1.1) имеет периодическое решение . Для его исследования воспользуемся линеаризацией. Предположим, что , тогда

.

Проведя линеаризацию системы (1.1) на ее ‑периодическом решении , получим линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.10) с ‑периодической матрицей и . Здесь . Поведение траекторий, близких к ‑периодическим траекториям, можно описывать линейной системой (2.10). По значениям мультипликаторов цикла или показателей Флоке линейной неавтономной системы (2.10) первого приближения можно сделать вывод о свойствах периодического решения нелинейной системы (1.1).

Однако вопрос об устойчивости периодического решения оказывается нетривиальным, поскольку матрица системы (2.14) всегда имеет хотя бы одно нулевое собственное значение, что не позволяет сделать вывод об устойчивости. Покажем это.

Если  – решение автономной системы (1.1), то также будет решением для любого (это просто сдвиг вдоль траектории), т. е. . Продифференцируем это соотношение по , предположим и обозначим . В результате получим , но , поэтому . Иными словами, уравнение имеет хотя бы одно периодическое решение . Выразим его через фундаментальную матрицу

,

откуда следует, что

.

Таким образом,  – собственный вектор матрицы монодромии, отвечающий собственному значению , и одновременно собственный вектор матрицы , отвечающий собственному значению . Однако этот нулевой характеристический показатель связан с движением по циклу и не должен влиять на устойчивость. Это утверждение можно строго обосновать при помощи построения сечения Пуанкаре.