3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов

Как уже отмечалось выше, одним из ключевых признаков детерминированного хаоса является высокая чувствительность к начальным данным или экспоненциальное (в среднем) удаление бесконечно близких траекторий.

Аттрактор для случая регулярной динамики может быть либо устойчивой стационарной точкой, либо устойчивым предельным циклом, либо инвариантным тором. Все эти подмножества являются подмногообразиями фазового пространства.

Математическим образом хаотических движений служит странный аттрактор, который уже не обладает гладкой структурой и достаточной непрерывностью, предполагаемых в понятии подмногообразия. Странные аттракторы имеют более сложное геометрическое строение, чем многообразия. На асимптотической стадии траектория стремится к притягивающему множеству, обладающему фрактальной структурой, или фракталу. Типичными чертами фрактальных множеств является масштабная инвариантность, несовпадение метрической и топологической размерностей, негладкие границы.

Масштабная инвариантность предполагает, что при увеличении масштаба некоторой подобласти странного аттрактора мы получим объект, геометрически сходный по своей структуре с целым аттрактором. Топологической характеристикой, описывающей степень сложности фрактального множества, одновременно и степень хаотизации движения по аттрактору, является его дробная размерность, которая указывает на близость этого множества к соответствующему гладкому многообразию. Дробная размерность используется в качестве одного из критериев отличия странных аттракторов от простых аттракторов. Для описания странных аттракторов предложены также вероятностные размерности, при вычислении которых главную роль играет частота посещения различных областей аттрактора типичными фазовыми траекториями.

Размерность аттрактора служит характерным количественным критерием, позволяющим различать структуру аттрактора.

Таким образом, характерными признаками детерминированного хаоса являются:

‑ существенная зависимость движений динамических систем от начальных данных;

‑ размазывание малого объема фазового пространства по всему аттрактору и возникновение эффекта перемешивания;

‑ беспорядочное, нерегулярное поведение фазовой траектории на аттракторе;

‑ широкополосный спектр мощности исследуемого процесса;

‑ малый радиус корреляции процесса.

В качестве математических критериев динамического хаоса выступают: показатели Ляпунова, энтропия, плотность инвариантной меры, фрактальная размерность, автокорреляционная функция, спектр мощности.