Приложение дифференциального исчисления
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 и x2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ( ).
Необходимое условие возрастания (убывания): Если дифференцируемая функция на интервале (a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале ( ).
Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Функция f(x) в точке х1 имеет максимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x1)>f(x), при xx1.
Функция f(x) в точке х1 имеет минимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x1)<f(x), при xx1.
Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х1. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале.
Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.
Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х0 равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х0) является экстремумом функции, причем если изменение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс, то минимум.
Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует называются критическими.
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:
Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
Исследовать знак производной f'(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
На основании достаточного условия экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо выполнить несколько этапов:
Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.
Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции только на границах отрезка.
Из полученных значений функции выбирают наибольшее и наименьшее и записывают ответ, например, в виде: ; .
Решение задач
Пример 2.1. Найти дифференциал функции: .
Решение. На основании свойства 2 дифференциала функции и определения дифференциала имеем:
.
Пример 2.2. Найти дифференциал функции:
Решение. Функцию можно записать в виде: , . Тогда имеем:
Пример 2.3. Найти вторую производную функции:
Решение. Преобразуем функцию .
Найдем первую производную:
;
найдем вторую производную:
.
Пример 2.4. Найти дифференциал второго порядка от функции .
Решение. Найдем дифференциал второго порядка на основании выражения для вычисления :
. Найдем сначала первую производную:
; найдем вторую производную: .
Тогда .
Пример 2.5. Найти угловой коэффициент касательной к кривой , проведенной в точке с абсциссой х=2.
Решение. На основании геометрического смысла производной имеем, что угловой коэффициент равен производной функции в точке, абсцисса которой равна х. Найдем .
Вычислим – угловой коэффициент касательной к графику функции.
Пример 2.6. Популяция бактерий в момент времени t (t измеряется в часах) насчитывает особей. Найти скорость роста бактерий. Найти скорость роста бактерий в момент времени t = 5 часов.
Решение. Скорость роста популяции бактерий – это первая производная по времени t: .
Если t = 5 часов, то . Следовательно, скорость роста бактерий составит 1000 особей в час.
Пример 2.7. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Если х обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции у описывается функцией . При каком значении х реакция максимальна?
Решение. Найдем производную .
Найдем критические точки: ⇒ . ⇒ Следовательно, имеем две критические точки: . Значение не удовлетворяет условию задачи.
Найдем вторую производную . Вычислим значение второй производной при . . Значит, – уровень дозы, который дает максимальную реакцию.
Примеры для самостоятельного решения
Найти дифференциал функции:
.
.
.
Найти вторые производные следующих функций:
.
.
.
.
Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго порядка для следующих функции:
.
.
Исследовать функцию на экстремум .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума и точки пересечения с осями:
Закон движения точки имеет вид . Определить закон скорость и ускорение этой точки.
Уравнение движения точки имеет вид (м). Найти 1) положение точки в моменты времени с и с; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.
Задание на дом.
Практика:
Найти дифференциал функции:
;
;
Найти производные второго порядка функции:
.
Найти дифференциалы второго порядка
.
Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в моменты времени и .
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
.
.
При вливании глюкозы ее содержание в крови человека, выраженное в соответствующих единицах, спустя t часов составит . Найдите скорость изменения содержания глюкозы в крови при а) t =1 ч; б) t =2 ч.
Теория.
Лекция по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов. Приложение дифференциала функции нескольких аргументов».
Занятие 3 данного методического пособия.
Павлушков И.В. и другие стр. 101-113, 118-121.
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Предисловие
- Занятие 1.Понятие функции, предела и непрерывности функции. Производная функции
- Краткие сведения из теоретического курса Понятие функции
- Определение предела функции и бесконечно малой функции
- Основные теоремы о пределах
- Производная функции
- Производная сложной функции
- Занятие 2.Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к решению прикладных задач
- Дифференциал функции
- Геометрический смысл дифференциала функции
- Производные высших порядков
- Механический смысл производной второго порядка
- Дифференциалы высших порядков
- Приложение дифференциального исчисления
- Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов
- Основные понятия
- Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- Полный дифференциал функции
- Частные производные второго порядка
- Решение задач
- Неопределенный интеграл и его основные свойства. Основные методы интегрирования.
- Основные понятия
- Свойства неопределенного интеграла
- Метод непосредственного интегрирования
- Метод замены переменной (подстановки)
- Метод интегрирования по частям
- 6. Задание на дом.
- Определенный интеграл и его основные свойства. Приложения определенного интеграла.
- Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- Свойства определенного интеграла
- Геометрический смысл определенного интеграла
- Формула Ньютона-Лейбница
- Метод замены переменных в определенном интеграле
- Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- Задача о площади криволинейной трапеции
- Работа переменной силы
- Занятие 3.Основные понятия теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности. Круглый стол «Применение математического анализа при решении задач физики, химии, фармации»
- Понятие испытания, события, виды событий
- Свойства вероятности:
- Самостоятельная работа студентов на занятии
- Занятие 4.Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- Теорема сложения независимых событий
- Случайные величины
- Закон распределения дискретной случайной величины
- Числовые характеристики случайной величины
- Дисперсия дискретной случайной величины
- Среднее квадратическое отклонение
- Функция распределения случайной величины
- График функции распределения
- Плотность распределения вероятностей. Дифференциальная функция распределения
- Свойства плотности распределения
- Характеристики непрерывных случайных величин
- Нормальное распределение
- Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- Занятие 6.Статистическое распределение выборки, дискретные и интервальные вариационные ряды. Точечные оценки параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
- Генеральная и выборочная совокупности
- Статистический дискретный ряд распределения
- Статистический интервальный ряд распределения
- Полигон и гистограмма
- Эмпирическая функция распределения
- Оценки характеристик распределения
- Оценка математического ожидания
- Оценка дисперсии
- Оценка среднего квадратического отклонения
- Интервальные оценки
- 2. Результаты наблюдений за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера в течение минуты, приведены в виде интервального ряда распределения:
- Построим гистограмму (рис. 9.4)
- 3. Найти оценку математического ожидания и несмещенную оценку дисперсии, если дана таблица распределения:
- Решение. Для вычисления характеристик воспользуемся расчетной таблицей:
- Самостоятельная работа студентов на занятии
- Занятие 7.Погрешности измерений и их оценки. Погрешности прямых и косвенных измерений
- Погрешности измерений. Истинная, абсолютная и относительные погрешности
- Типы погрешностей
- Оценка истинного значения измеряемой величины
- Вычисление абсолютной погрешности косвенных измерений
- Занятие 8.Контрольная работа
- Занятие 9.Деловая игра «Статистика знает все»
- Приложения
- I. Греческий алфавит
- II. Некоторые постоянные
- III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы
- IV. Значение функции ех и е -х
- V. Тригонометрия Значения тригонометрических функций
- Критические значения распределения Стьюдента
- Значения функции и
- Библиографический список
- Практикум по математике