Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b], a<b. Выполним следующие действия: разобьем отрезок [a, b] точками а=х₀,х₁…,х_n=b (х₀<х₁<…<х_n) на n частичных отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂],… [x_n-1, x_n]; в каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] возьмем произвольную точку с_i и вычислим f(c_i); умножим f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка x_i=x_i–x_i-1: f(c_i)x_i и составим сумму всех таких произведений. Сумма всех таких произведений называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b]. Найдем предел интегральной суммы, когда n ∞ или maxx_i0.

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора в них, то число I называют определенным интегралом и обозначается .

Таким образом, .

Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – подынтегральной функцией, отрезок [a, b] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция у= f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.