Определение предела функции и бесконечно малой функции

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, может быть, самой точки х₀.

Определение: Число А называется пределом функции в точке х₀ (или при х  х₀), если для любого положительного  найдется такое положительное число , что для всех хх₀, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывается предел функции в точке следующим образом: .

Геометрически смысл предела функции: , если для любой ε–окрестности точки А найдется такая этой δ – окрестность точки х₀, что для всех х х₀ из этой δ – окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε–окрестности точки А. То есть, точки графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у =А+, у =А–. Величина  зависит от выбора  (рис. 1.2).

Рис. 1.2. К понятию предела функции

Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х  х₀, если .

Обозначают бесконечно малые функции греческими буквами   или хх и т. д.

Теорема (о связи бесконечно малой функции и предела). Если функция f(x) при х  х₀ имеет предел, равный числу А, то она может быть представлена в виде f(x)= A + (x), где (x) – бесконечно малая.

Справедливо и обратное утверждение: Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции , то число А является пределом функции f(x) при х  х_0.