Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.

Если u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, тогда d(uv)=vdu+udv, откуда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя последнее выражение, получаем: – формула интегрирования по частям, которая применяется в тех случаях, если интеграл в правой части более прост, чем исходный. Эта формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Решение задач

Пример 7.1. Найти интегралы:

1) . 2) .

Решение. 1) Применяя свойства 4 и 5 неопределенного интеграла, а также алгебраические преобразования сведем интеграл к трем табличным интегралам:

;

2) Учитывая, что и используя основные формулы интегрирования, имеем: .

Пример 7.3. Найти интегралы:

1) . 2) .

Решение. 1) Введем замену: пусть x=4t, тогда dx=d(4t)=4dt. Следовательно, можем записать:

.

2) Положим . Тогда , следовательно . Можем записать:

.

Пример 7.4. Найти интеграл .

Решение. Интеграл будем искать методом интегрирования по частям. Положим , ; тогда , . Применяем формулу интегрирования по частям: .

Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти , применим ещё раз интегрирование по частям. Пусть , ; тогда , и можно записать

.

Пример 7.5. Найти интегралы:

1) .

2)  .

3) .

4 ;

5)  .

Решение: 1). Применим метод непосредственного интегрирования:

2). Воспользуемся формулой сокращенного умножения для преобразования подынтегральной функции и применим метод непосредственного интегрирования:

.

3). Этот интеграл можно найти с помощью замены переменной. Полагая , имеем , т.е. . Отсюда получим

.

4). Введем подстановку:

5). Применим метод интегрирования по частям. Пусть ; тогда . Используя формулу интегрирования по частям, получим .

Пример 7.6. Найти закон изменения скорости тела, если уравнение ускорения имеет вид: и, если известно, что скорость тела через 2 секунды была равна 10 .

Решение: Так как ускорение движения тела есть первая производная скорости движения по времени, то имеет место формула . Следовательно, можно записать . Проинтегрировав данное соотношение, получим . Тогда .

Исходя из начальных условий: при , найдем С:

 .

Итак, уравнение скорости движения тела .

Самостоятельная работа студентов на занятии.

Найти интегралы

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .