Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x)0. Фигура ограниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.

Рис. 5.1

Рассмотрим функцию y=f(x), которая определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] точками а=х₀,х₁…,х_n=b (х₀<х₁<…<х_n) на n частичных отрезков, в каждом из которых возьмем произвольную точку с_i. Умножим f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка x_i. Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции . За точное значение площади криволинейной трапеции принимают предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n стремится к :

.

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.