Решение задач

Пример 3.1. Найти частные производные функций:

1. ;

2. .

Решение. 1) рассматривая у как постоянную величину, получим , рассматривая х как постоянную величину, найдем: .

2) пусть – const, получим ,

пусть х – const, получим .

Пример 3.2. Реакция на инъекцию х единиц лекарственного препарата описывается функцией , где t выражается в часах с момента инъекции, a – некоторая константа. Найти частные производные .

Решение. Найдем частные производные

;

.

Пример 3.3. Для функции найти производные второго порядка.

Решение. Найдем частные производные первого порядка , .

Дифференцируя повторно, получим:

.

Пример 3.4. Найти полный дифференциал функций:

1. ;

2. .

Решение. 1) Найдем частные производные

;

.

Следовательно, .

2) найдем частные производные по переменным х, у и z:

, , ,

следовательно

.

Примеры для самостоятельного решения

Найти частные производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Найти все частные производные второго порядка функции:

5. .

6. .

Найти частные и полный дифференциал для следующих функций:

7. .

8. .

9. .

10. .

Задание на дом

Практика

Найти все частные производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Найти частные и полный дифференциал для следующих функций:

5. .

6. .

7. .

8. .

Теория

1. Лекция по теме «Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные способы интегрирования».

2. Занятие 4 данного методического пособия.

3. Павлушков И.В. и другие стр. 122-144.