1.4 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Предположим, что в каждой точке М некоторой области D задано значение скалярной величины , т. е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов, потенциал электрического поля и т. д. При этом называют скалярной функцией точки и записывают.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в области D задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Если скалярное поле отнесено к системе координат , то задание точкиМ равносильно заданию ее координат .

Поверхностью уровня скалярного поля называют геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е., в зависимости от физического смысла поля они могут называться изотермическими, изобарическими и т. п.

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, т. е. задана функция . Возьмем точкуи некоторое направление, определяемое направляющими косинусами. При перемещении в данном направлении точкив точкуфункцияполучает приращение

,

которое называют приращением функции в данном направлении. Величину перемещения точки обозначим через, тогда можно записать, что

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в направленииназывают предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при условии, что перемещение стремится к нулю

.

Вычислить производную по направлению можно, используя следующую теорему:

ТЕОРЕМА. Если функция дифференцируема, то ее производнаяпо любому направлениюсуществует и равна

,

где - направляющие косинусы направления.

ПРИМЕР. Найти производную функции в точкепо направлению, идущему от точкик точке.

РЕШЕНИЕ

Найдем единичный вектор e, соответствующий направлению :

,

,

.

Частные производные функции равны:

.

Вычислим частные производные в точке и найдем производную по направлению из равенства

,

получим .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции называют вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т. е.

.

Используя определение градиента, формулу производной по направлению можно записать в виде:

,

где - единичный вектор направления.

Меняя направление , мы будем получать различные значения производной, причем наибольшее значение наблюдается, когда направлениесовпадает с вектором. Таким образом,определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в данной точке.

ПРИМЕР. Дано скалярное поле . Составить уравнение линии уровня. Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля в точкепо направлению вектора. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке.

РЕШЕНИЕ

Поверхностью уровня (линией уровня) данного скалярного поля является окружность с центром в точке , радиуса 1:

, .

Градиент функции равен: .

Найдём единичный вектор направления :, а затем производную скалярного поляпо направлениюв точке:

, .

Так как , то данное скалярное поле возрастает по направлению векторасо скоростью равной 1.

Теперь найдём производную по направлению :

, .

Наибольшая скорость возрастания скалярного поля в точке равна 2.