Комплексная плоскость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексным числом называют выражение вида , гдеи- действительные числа, а- мнимая единица, удовлетворяющая равенству.

Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической формой, причем -вещественной частью, а -мнимой частью, что записывается так: ,.

Комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого выбирают систему декартовых координат ,, после чего любое комплексное числоотождествляется с радиус-вектором точки(рис. 5). Такую плоскость называюткомплексной плоскостью.

Действительные (вещественные) числа являются частным случаем комплексных чисел, если в формуле положить. Они изображаются точками на вещественной оси, т. е. оси. Если у комплексного числа отсутствует действительная часть, то его называют чисто мнимым и изображают на мнимой оси, т.е. оси.

На рис.6 показаны комплексные числа ,и.

На комплексной плоскости часто рассматривают также полярные координаты иточки. Их называютмодулем и аргументом комплексного числа и обозначают,(рис. 5). Связь между модулем и аргументом комплексного числаи его действительной и мнимой частями устанавливается известными формулами:

_{, ,} ,

, ,_.

Заменяя ив алгебраической форме комплексного числа, их выражениями черези, получим так называемуютригонометрическую форму комплексного числа:

.

Модуль любого комплексного числа имеет вполне определенное значение, тогда как аргумент определен с точностью до целого числа полных оборотов. Поэтому значение полярного угла , которое удовлетворяет неравенству, называетсяглавным значением аргумента , а функция, где–общим значением аргумента.

ПРИМЕР. Найти корни уравнения .

Решение

Для решения квадратного уравнения с вещественными коэффициентами воспользуемся известной формулой

.

Уравнение имеет два комплексных корня и.

ПРИМЕР. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

a), б), в).

Решение

а) Найдем модуль и аргумент числа _. Так как действительная часть комплексного числа , а мнимая часть, то

,.

Для определения угла следует помнить, что тангенс угла принимает положительные значения в первой и третьей четвертях. Для определения четверти можно изобразить точку, соответствующую числуна комплексной плоскости, и поскольку она лежит в третьей четверти, то. Отсюда можно записать комплексное число в тригонометрической форме .

б) Если , то, а.

Отсюда:

в) Если , то,.

Отсюда: .