1.3 Экстремумы функции нескольких переменных

Понятия максимума и минимума функции двух переменных вводятся подобно тому, как это было сделано для функции одной переменной.

Условимся обозначать окрестностью точки множество точек плоскости, лежащих внутри некоторого круга с центром .

Говорят, что функция имеетмаксимум в точке , если в окрестности этой точки выполняется неравенство Аналогично, функция имеетминимум в точке , если всюду в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство.

Для максимума и минимума функции используется общий термин - экстремум. Введенные понятия максимума и минимума носят локальный характер, так как в определениях фигурируют лишь точки , достаточно близкие к точке. В общем случае функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Сформулируем необходимые условия существования экстремума функции.

ТЕОРЕМА (необходимый признак существований экстремума)

Если в точке дифференцируемая функция двух переменныхимеет экстремум, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, либо не существуют.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называют критическими (стационарными) точками.

Таким образом, точки экстремума функции нужно искать среди ее критических точек, т. е. среди решений системы уравнений

Следует заметить, что сформулированные выше условия экстремума не являются достаточными. Например, если в какой-либо точке области определения функции все частные производные первого порядка равны нулю, то это еще не означает, что в этой точке функция обязательно имеет экстремум. Иногда по смыслу задачи ясно, имеет ли функция экстремум и какой именно. В этом случае решение сводится лишь к отысканию критических точек.

ПРИМЕР. На плоскости найти точку, сумма квадратов расстояний которой от трех прямыхявляется наименьшей.

РЕШЕНИЕ

Из рис.3 следует, что сумма квадратов расстояний от точки до прямых равна

.

Запишем уравнение прямой в нормальном виде и найдем расстояние от точки до прямой.

Таким образом, получим функцию двух переменных

.

В зависимости от положения точки на плоскости эта сумма принимает различные значения, и лишь одно из них является минимальным. Для нахождения точки минимума найдем частные производные

Приравняем их к нулю и получим систему уравнений

решение которой х = 8/5, у = 16/5, дает единственную критическую точку.

По смыслу задачи эта точка является точкой минимума: .

Достаточные условия экстремума для функции двух переменных носят более сложный характер, чем для функций одной переменной.

Пусть – стационарная точка функции . Обозначим через

и составим дискриминант .

Если , то функцияимеет в точкеэкстремум: максимум приии минимум прии.

Если , то точка Р₀ не является точкой экстремума.

Если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя и требуется дополнительное исследование.

ПРИМЕР. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной осью, прямойи параболойпри.

РЕШЕНИЕ

Построим область, ограниченную заданными линиями (рис.4). Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Найдем стационарные точки, в которых частные производные равны нулю.

Решим систему уравнения

и получим две точки О(0;0) и М(1;1), в которых частные производные равны нулю.

Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1;1).

Исследуем функцию на границе области. На отрезке ОА имеем , и поэтомувозрастающая функция от одной переменной. Наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА.

На отрезке АВ имеем , функцияпредставляет собой функцию одной переменной. Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Найдеми решим уравнениеили. Тогда_. Внутри отрезка имеется лишь одна критическая точка_, критической точкой на отрезке АВ является точка Итак, из всех значений функции на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках А,Q, В.

На дуге ОВ параболы имеем т.е.

Решим уравнение илии найдем корнии. Получим три точки,и:. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функциив данной замкнутой области находятся среди ее значений в точкахO, A, Q, B, P, M, то есть

,,_,

,,

Таким образом, наибольшее значение функции в заданной области равно и наименьшее значение.