Действия над комплексными числами

Определим на множестве комплексных чисел отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: если , , то равенстворавносильно двум вещественными.

Операции сложения и вычитания комплексных чисел удобно выполнять в алгебраической форме.

При сложении комплексных чисел складываются их вещественные части, а также их мнимые части.

Если обозначить и , то

.

При вычитании комплексных чисел вычитаются их вещественные части, а также их мнимые части:

.

Умножение и деление комплексных чисел можно выполнить как в алгебраической, так и в тригонометрической форме.

Если воспользоваться тригонометрической формой ,, то

.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

В алгебраической форме .

Таким образом, комплексные числа можно перемножать как буквенные многочлены, считая .

В частном случае, когда и(иназываютсопряженными числами), получим:

.

Это свойство сопряженных комплексных чисел используется при делении комплексных чисел.

Модуль частного комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

, .

Если делимое и делитель записаны в алгебраической форме, то

, .

Для операций сложения и умножения комплексных чисел выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, справедливы все те преобразования,

ПРИМЕР. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел:

и .

РЕШЕНИЕ

,,

.

Для того чтобы найти частное, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю и выполним действия с многочленами:

.

ПРИМЕР. Найти произведение и частное чисел ив тригонометрической форме.

РЕШЕНИЕ

Найдем модули и аргументы чисел и, чтобы записать их в тригонометрической форме:

, ,

,.

Тогда

.

Теперь получим

, .

Возведение в степень комплексного числа и извлечение корня из комплексного числа производятся по формулам Муавра:

,

, .

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

ПРИМЕР. Решить уравнение , если.

РЕШЕНИЕ

Запишем уравнение в виде . Выполнив деление, представим числов алгебраической форме:

.

Теперь выразим число в тригонометрической форме, получим:

.

Применим формулу Муавра:

..

Итак, получаем 4 корня:

при ;

при ;

при ;

при .