Вычисление объёмов

Рассмотрим тело, ограниченное замкнутой поверхностью. Пересечём его плоскостью, перпендикулярной к любой из его осей, например к оси . Будем считать, что площадь сечения является заданной функциейего расстояния от начала координат. Предположим, что тело заключено между двумя плоскостямии. Объём такого тела вычисляется по формуле

.

Если тело, объём которого предстоит вычислить, получено в результате вращения непрерывной кривой с уравнениемвокруг оси, то в сечении получается круг радиуса(рис. 23). Следовательно, площадь поперечного сечения,

а объём

.

Если вращение происходит вокруг оси , то,

где - уравнение непрерывной кривой,и- ограничивающие плоскости.

ПРИМЕР. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,,вокруг оси(рис. 24).

РЕШЕНИЕ

Тело, полученное в результате вращения фигуры (криволинейной трапеции), является параболоидом вращения. Его объём можно вычислить по формуле

.