Достаточный признак сходимости

Если ряд , составленный из абсолютных величин знакопеременного ряда, сходится, то ряд (1) тоже сходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через - частичную сумму ряда (1). Выберем из этих слагаемых положительные члены и их сумму обозначим. Сумму оставшихся отрицательных членов, взятых по абсолютной величине, обозначим. Тогда.

Частичную сумму ряда (2) обозначим . По условию ряд (2) сходится, значит,имеет конечный предел, () причем.

Так как можно записать тои. Таким образом- возрастающие и ограниченные последовательности и, следовательно, они имеют предел, если. Тогда последовательностьтоже имеет предел, а это значит, что ряд (1) сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда, сходится.

Сходящийся знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка следования его членов.

Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что сумма ряда изменится. Более того, можно так переставить члены ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Этот ряд знакопеременный, т.к. при различных значенияхn может быть как положительным, так и отрицательным.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему первый признак сравнения.

Так как при любом n то для каждого слагаемого можно записать оценку: .

Таким образом, члены ряда из абсолютных величин не превосходят соответствующие члены сходящегося ряда . Согласно первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Из этого следует сходимость ряда с произвольными членами, т. е. ряд сходится абсолютно.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Запишем ряд в виде

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (1):

Это числовой ряд с положительными членами, общий член которого имеет вид . Обобщенный гармонический рядрасходится.

Таким образом, исследуемый ряд (1) не может быть абсолютно сходящимся. Проверим его на условную сходимость.

Так как ряд (1) знакочередующийся, то к нему применим признак Лейбница. Проверим два условия:

- члены ряда по модулю убывают, .

Следовательно, ряд (1) сходится условно.