Метод интегрирования по частям

Иногда при интегрировании имеет смысл представить подынтегральное выражение как произведение некоторой функции на дифференциал другой функции. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть и- дифференцируемые функции от переменной. Найдем дифференциал их произведения

,

а затем проинтегрируем полученное выражение

.

Или

, .

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

Примем за функцию , а за дифференциал, тогда

.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Проинтегрируем выражение на промежутке, и, выразив, получим

, ,

.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

.

Рассмотренные методы применяются при интегрировании основных классов функции.