Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Такое уравнение подстановкой ,,сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ

Убедимся, что это уравнение однородное, для чего разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на . Получим уравнение:

.

После подстановки: ,или в дифференциальной формеуравнение примет вид:.

Перенесем в правую часть и приведем дроби к общему знаменателю, т.е.,,.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные и найдем интегралы:

или ,

, ,.

Выполним обратную подстановку и получим общее решение уравнения:

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию

РЕШЕНИЕ.

Если в уравнении перенести слагаемоев правую часть, то уравнение примет вид, т. е. оно является однородным. Введем новую переменнуюи подставимив исходное уравнение:или.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на , а затем разделим на ():.

Найдем интеграл от левой и правой части уравнения ,

Таким образом, общий интеграл получен: Сделаем обратную замену

Чтобы найти частное решение уравнения, подставим в общий интеграл начальные условия :. Отсюда. Подставим найденное значениев общий интеграл уравнения и получим частное решение исходного уравнения:

.