Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение вида

называют уравнением с разделенными переменными. Функции ибудем считать непрерывными.

Произведем интегрирование и получим связь между переменными и, освобожденную от их дифференциалов

,

т. е. функцию, которая является общим решением исходного уравнения.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ.

Запишем уравнение в виде .Переменные разделены, так как множитель перед дифференциаломявляется функцией только от переменной, а множитель передфункцией только от переменной. Интегрируя обе части уравнения, получим

или .

Если умножить уравнение на 2 и ввести обозначение , то общее решение можно записать в виде.

Интегральными кривыми для исходного уравнения являются окружности с центром в начале координат.