4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство .

Если уравнение разрешено относительно производной , то оно приобретает вид:

или в дифференциальной форме .

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка может быть записано в неявном и явномвидах. И, так как в нем присутствует одна произвольная постоянная, то для нахождения частного решения необходимо задать одно начальное условие:.

График частного решения представляет собой линию, проходящую через точку с координатами . Эта линия называетсяинтегральной кривой.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует и единственно, решает следующая теорема.

ТЕОРЕМА (существования и единственности решения)

Если функция непрерывна в области, содержащей точку, то уравнениеимеет решениетакое,

что . Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение единственно.

Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся видов дифференциальных уравнений 1-го порядка.