Связь интегрирования с дифференцированием

Рассмотрим определенный интеграл, у которого нижний предел остается постоянным, а верхний изменяется.

Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать различные значения интеграла; следовательно, при этих условиях интеграл является функцией своего верхнего предела

,

здесь - переменная интегрирования, изменяющаяся в промежутке .

ТЕОРЕМА 1. Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассмотрим непрерывную, принимающую неотрицательные значения в промежутке функцию. Зафиксируем точкуи обозначим черезплощадь криволинейной трапеции с основанием,(рис. 9), тогда

.

Если переменная получит приращение, тоизменится на(см. рис. 9). Геометрически ясно, что

,

где и- соответственно наименьшее и наибольшее значения функциив промежутке . Ведь- площадь прямоугольника, целиком лежащего внутри фигуры, площадь которой обозначена, а- площадь прямоугольника, содержащего эту фигуру. Разделим все части неравенства на приращение, тогда.

Так как непрерывная функция на отрезке, то она принимает в этом интервале хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, в том числе и значение. Обозначим через точку, в которой , .

Рассмотрим предел этого выражения при условии, что . Тогда точка, а значениек значению функции. По свойствам пределов будем иметь:

, .

ЗАМЕЧАНИЕ: Эта теорема показывает, что интегрирование и дифференцирование - обратные операции.