Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

I. Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка, когда правая часть уравнения не содержит и

.

Такое уравнение решается последовательным двукратным интегрированием.

ПРИМЕР. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ

Последовательно интегрируя уравнение, найдем сначала первую производную:, а затем саму функцию:.

II. Дифференциальное уравнение, правая часть которого не содержит

,

можно свести к уравнению первого порядка с помощью подстановки:

,

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ.

Положим, , тогда. Подставимв уравнение:

.

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции . Решим его методом Бернулли. Разделим обе части уравнения на множитель

и будем искать в виде. Тогда. Подставимв уравнение:

, .

Составим систему уравнений

1 этап: решим первое уравнение системы и найдем функцию :

Тогда , откуда.

2 этап: подставим полученное выражение для функции во второе уравнение системы и найдем функцию:

Вычислим интегралы, входящие в левую и правую части уравнения

Тогда получим .

3 этап: т.к. то

4 этап: поскольку то получим уравнениеили,,,

Это общее решение исходного уравнения.

3. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной , т.е. уравнение вида

.

Это уравнения можно привести к уравнению 1-го порядка с помощью подстановки . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции.

ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения .

РЕШЕНИЕ

Уравнение не содержит явным образом независимую переменную , поэтому введем новую переменную. Тогда. Подставимив уравнение и получим:. Уравнение распадается на два:и.

Из первого уравнения следует, что или.

Второе уравнение с разделяющимися переменными: .

Общий интеграл уравнения . Применим свойства логарифмов и получим, что. Тогда. Подставим в решениеи получим, что.

Вновь пришли к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид

и .