Интегральный признак Коши

Пусть - числовой ряд с положительными членами, и пусть- непрерывная, монотонно убывающая функция, для которой. Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл, и расходится, если этот интеграл расходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Составим частичную сумму ряда . Поскольку(), то.

Каждое слагаемое частичной суммы можно рассматривать как площадь прямоугольника с основанием единица и высотой равной (рис.25). Добавление к частичной сумме нового члена ряда означает добавление новой площади, а потому, то есть последовательность частичных сумм неубывающая.

Рассмотрим частичную сумму и примем заплощадь прямоугольника, лежащего справа от, т. е. с большей высотой. Тогда получим сумму площадей прямоугольников, часть площади которых расположена над кривой. Эта сумма равна.

Рассмотрим также сумму. Каждое слагаемое этой суммы есть площадь треугольника с основанием, равным единице и высотой прямоугольника, лежащего слева. Тогда суммаесть сумма площадей прямоугольников, лежащих под кривой.

Обозначим . С геометрической точки зрения этот интеграл есть площадь, ограниченная кривойприи осью.

Тогда из рис. 25 имеем, что

.

Это двойное неравенство можно записать в виде двух неравенств:

и .

1). Пусть сходится. Это значит, что существует конечный предел. Тогда согласно первому неравенству, где- число. Следовательно, возрастающая последовательностьограниченна сверху, а потому имеет конечный предел, т. е. ряд сходится.

2). Пусть расходится. Тогда

Согласно неравенству , частичные суммынеограниченно возрастают. Но тогда, по определению, ряд расходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд .

РЕШЕНИЕ

Если , то члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность.

Рассмотрим функцию непрерывную на промежутке, монотонно убывающую и при целых значениях аргумента, совпадающую с членами ряда.

Вычислим , если:

Если , то.

Таким образом, ряд сходится, еслии расходится если.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Общий член ряда . Вычислим интеграл

.

Т.к. предел равен бесконечности, интеграл расходится. Следовательно, по интегральному признаку Коши, исследуемый ряд тоже расходится.

Рассмотрим два ряда с положительными членами:

и