Несобственный интеграл от неограниченной функции

К другому типу относятся несобственные интегралы, содержащие под знаком интеграла функцию, терпящую разрыв в какой-либо точке из области интегрирования.

Рассмотрим функцию непрерывную для всех значенийв промежуткахи, неограниченную в любой окрестности точкиотрезка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом от неограниченной функции на промежуткеназывают

.

Если пределы в правой части равенства существуют и конечны, то интеграл называют сходящимся, в противном случае расходящимся.

ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость).

РЕШЕНИЕ

Степенная функция определена на бесконечном промежуткеи интегрируема на любом конечном промежутке, поэтому

.

Несобственный интеграл расходится.

ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл .

РЕШЕНИЕ

.

Интеграл сходится.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

В точке подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв, поэтому

.

Интеграл расходится.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

В точке подынтегральная функциянеограниченна (рис.12), поэтому проинтегрируем функцию на промежутке, а затем вычислим предел, если:

.

Интеграл сходится. Геометрически это значит, что площадь незамкнутой фигуры, ограниченной линиями , равна 2 кв. ед..

ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл .

РЕШЕНИЕ

Функция имеет бесконечный разрыв в точке, которая лежит внутри промежутка. Представим исходный интеграл в виде суммы интегралов и вычислим каждый из них. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части равенства.

,

.

Так как один из интегралов расходится, то можно утверждать, что исходный интеграл расходится.