3.1 Основные понятия и теоремы Задача, приводящая к понятию определенного интеграла

Пусть задана положительная непрерывная функция . Рассмотрим эту функцию, еслиизменяется на промежутке. Восстановим перпендикуляры из точекидо пересечения с кривой. Получим фигуру, ограниченную осью, графиком непрерывной функциии двумя прямымии(рис.7). Область такого вида называюткриволинейной трапецией. Вычислим площадь этой фигуры.

Для этого разобьем промежуток наn частей произвольным образом

точками . Проведем в точках деления промежуткапрямые, параллельные оси ординат, и получимчастичных трапеций. Возьмем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и обозначим их через, так что

.

В точках проведем прямые, параллельные оси, до пересечения с линией; отрезки этих прямых соответственно равны,,,.

На частичных интервалах построим прямоугольников с высотойи основанием,. Площадь каждого такого прямоугольника равна.

Если просуммировать площади прямоугольников, то получим площадь ступенчатой фигуры , которая приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е..

Если увеличивать число прямоугольников при условии, что наибольшая длина частичного интерваластремиться к нулю, то площадь- ступенчатой фигуры будет давать более близкое значение к площади криволинейной трапеции, т.е.→, еслии.

Таким образом,

.

Итак, просуммировав площадичастичек фигуры, мы получили площадь целой фигуры, и пришли к понятию интеграла (integer – целый (лат.)). Весь изложенный ниже материал может быть представлен в виде структурно-логической схемы, которая позволит установить последовательность в изучении вопросов и связь между ними (таблица №1).