Признак Даламбера

Пусть для числового ряда с положительными членами ,существует предел,

то при l<1 ряд сходится, при l>1 ряд расходится, при l=1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным (надо применить другой признак).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По определению предела для любого существует, что для любоговыполняется соотношение

или .

1). Пусть . Выберемтак, чтобы число. Тогда, если,и т. д. Отсюда получим, что ,,,....

Ряд сходится, так как члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем. Тогда по первому признаку сравнения ряд

также сходится. Этот ряд получен из ряда после отбрасывания первыхчленов (остаток ряда). Значит, рядсходится (свойство 3).

2). Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера,будет выполняться неравенство(если выбратьдостаточно малым).

Из этого неравенства следует, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего , а т.к. они положительны, то предел общего члена ряда не может быть равен нулю. Следовательно, в силу необходимого признака сходимости, ряд расходится.

3). Пусть l=1. Возьмем два известных ряда: .

В том и другом случае , но при этом один ряд сходится, а другой расходится. Поэтому в случае, когда этот предел равен 1, необходимо применять другой признак для решения вопроса о сходимости ряда.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд числовой .

РЕШЕНИЕ

Общий член этого ряда имеет вид .

Для того чтобы найти й член ряда , вместоn в выражение подставимn+1: .

Вычислим предел

.

Т.к. , ато после сокращения получим

.

По признаку Даламбера, если то ряд сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость числовой ряд .

РЕШЕНИЕ.

Общий член ряда . Запишем последующий член ряда. Найдем предел отношения

.

Т.к. то по признаку Даламбера ряд расходится.