Свойства интегралов

СВОЙСТВО 1. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от каждой из функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

а). Рассмотрим неопределенный интеграл от суммы двух непрерывных функций. Докажем, что

.

Возьмем дифференциал от левой и правой части равенства

,

.

Результаты дифференцирования равны, следовательно, исходное равенство верно.

б). Рассмотрим теперь определенный интеграл. Покажем, что

.

Доказательство основано на связи определенного и неопределенного интегралов. Пусть - первообразная для, а- первообразная для. Тогда- первообразная суммы.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

СВОЙСТВО 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

а). Рассмотрим неопределенный интеграл и покажем, что

.

Найдем дифференциалы от левой и правой части равенства:

, .

Результаты дифференцирования равны, следовательно, исходное равенство верно.

б). Рассмотрим определенный интеграл и покажем, что

.

Пусть - первообразная для, тогда первообразнаядля функцииравна. По формуле Ньютона-Лейбница можно записать:

Остальные три свойства относятся только к определенному интегралу.

СВОЙСТВО 3. Если пределы интегрирования совпадают, то интеграл равен 0, т.е. .

Справедливость этого свойства следует из геометрического смысла определенного интеграла.

СВОЙСТВО 4. При перестановке пределов интегрирования интеграл умножается на (-1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Покажем, что . По формуле Ньютона-Лейбница

.

СВОЙСТВО 5. Теорема о разбиении интервала интегрирования

Если функция интегрируема в наибольшем из промежутков,и, то она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть . По формуле Ньютона-Лейбница-,.

Тогда

,

.

Равенство справедливо и в том случае, если точка лежит вне промежутка. Пусть, например,. По доказанному утверждению, так каклежит между значениямии,

.

Откуда .

Меняя местами, пределы второго интеграла в правой части равенства, получим предыдущий случай

.

3.2 Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Этот метод интегрирования основан на знании таблицы основных интегралов, свойствах интегралов и простейших преобразованиях.

ПРИМЕРЫ. Найти неопределенные и определенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойства 1 и 2, а также формулу (1) из таблицы интегралов для степенной функции, тогда

.

Результат интегрирования можно проверить дифференцированием: .

2). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки под знаком интеграла и, проинтегрировав функцию почленно (применим свойства 1 и 2), получим

.

Проверка:

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним почленное деление, применим свойства 1 и 2

.

Проверка: .

4). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки и проинтегрируем функцию почленно

Это первый способ, но можно решить и другим способом.

Обратим внимание, что , тогда

.

Этот интеграл можно рассматривать как , следовательно:.

Проверка: .

5). .

РЕШЕНИЕ

(- интеграл вида).

Вообще: .

Рассмотренный метод называют внесением под знак дифференциала.

6). .

РЕШЕНИЕ

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, выделив производную знаменателя

(- интеграл вида).

7). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойство 1 и формулу Ньютона-Лейбница, тогда

.

Метод подстановки (замены переменной)

ТЕОРЕМА 4. Если является первообразной для функциина некотором промежутке, адифференцируемая на промежуткефункция, значения которой принадлежат, то– первообразная для функции, гдеи

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть имеет первообразную , т.е. . Тогда

.

Если x = φ(t), где φ(t) – дифференцируемая функция, то в силу инвариантности формы первого дифференциала имеем следующую «цепочку» равенств:

.

Проинтегрируем первое и последнее звено «цепочки» и получим:

.

ПРИМЕРЫ. Вычислить неопределенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Заменим переменную функцией, т.е., тогдаи

,

перейдем к исходной переменной. Если , то, следовательно, имеем:* = .

2). .

РЕШЕНИЕ

Аналогично предыдущему примеру получим

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним подстановку , тогдаи

.

ТЕОРЕМА 5. Пусть функция непрерывна на промежутке, а– функция, определенная на промежуткеи дифференцируемая на нем; причем,. Тогда

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По теореме 4 .

Значит

, т.е. .

ПРИМЕРЫ. Вычислить определенные интегралы.

4). .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования

.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если при вычислении неопределенного интеграла методом подстановки необходим переход к исходной переменной, то в определенном интеграле этого не требуется.

5). .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования

.