4.1 Основные понятия

При решении экономических, технических, биологических и других задач за основу берется некоторый общий закон, связывающий бесконечно малые изменения рассматриваемых величин (дифференциальный закон). Уравнения, получаемые при выводе закона, называются дифференциальными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее функционально зависимые переменные и их производные (или дифференциалы).

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Если искомая функция зависит только от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение – го порядка может быть записано в виде

,

где - неизвестная функция,- некоторая функциональная зависимость между независимой переменной, функциейи ее производными.

Например: - дифференциальное уравнение 1-го порядка,- дифференциальное уравнение 2-го порядка,- дифференциальное уравнение 3-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

ПРИМЕР. Показать, что функции , гдепроизвольная постоянная, являются решениями дифференциального уравнения.

РЕШЕНИЕ.

Найдем первую производную функций :и подставим ее в уравнение. Получим тождество:, т. е. функцииявляются решениями дифференциального уравнения. Уже на этом примере, видно, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Процедура отыскания решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Если задачу нахождения всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, а также к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах.

В общем случае решение уравнения - го порядка находится в результатепоследовательных интегрирований, поэтому решение уравнения содержитпроизвольных постоянных. Эту совокупность решений называютобщим решением дифференциального уравнения - го порядка и записывают в явной или неявнойформе.

Частным решением дифференциального уравнения называют общее решение, для которого указаны конкретные значения произвольных постоянных. Для определения произвольных постоянных необходимо задать столько же условий. Эти условия включают задание значения функции и ее производных в определенной точке. Так для уравнения - го порядка необходимо задать

.

Числа называютначальными значениями, а равенства – начальными условиями. Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши.