Второй признак сравнения

Если существует конечный отличный от нуля предел (если), то оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть ряд (2) сходится и . Взяв произвольное число, для достаточно больших номеровбудем иметьили. Из неравенстваследует, что. В силу свойств сходящихся рядов одновременно с рядом (2) будет сходиться и ряд, полученный умножением его членов на число_. Отсюда, по первому признаку сравнения, вытекает сходимость ряда (1).

Если же ряд (2) расходится, то из неравенства илиследует, что ряд (1) также расходится.

Трудность применения на практике признаков сравнения состоит в необходимости иметь “запас” рядов, сходимость (или расходимость) которых известна. В качестве «эталонных» рядов, обычно используются ряды, образованные членами геометрической прогрессии, или обобщенный гармонический ряд .

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость числовой ряд .

РЕШЕНИЕ

Сравним данный ряд с рядом

.

Ряд сходится, т.к. его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем. Каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда:

поэтому, согласно первому признаку сравнения, ряд сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ

Сравним этот ряд с гармоническим рядом Ряд (*) расходится (p=1). Применим для исследования ряда второй признак сравнения:

.

Предел конечен и не равен нулю. Поэтому, согласно второму признаку сравнения, т.к. расходится ряд (*), то расходится и исследуемый ряд.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Сравним его с рядом , общий член, которого. Этот ряд сходится, т.к.Применим второй признак сравнения:

.

Т.к. этот предел конечен и не равен нулю, а ряд, с которым мы сравнивали, сходящийся, то, согласно второму признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.