5.3 Знакопеременные ряды

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакочередующимся рядом называют числовой ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки.

Если первый член ряда положительный, то знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и общий член ряда стремится к нулю, то

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит абсолютной величины первого члена ряда;

3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:

Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представимв виде:

.

Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем, т.е.для любого.

Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его черезS, т.е. , причем.

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечетными индексами:

.

Согласно условию , поэтому

Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами.

Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равнаS.

Рассмотрим остаток ряда: Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его суммаменьше абсолютной величины первого членат.е.

ПРИМЕР. Пользуясь признаком Лейбница исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ. Выпишем члены ряда : и применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий этого признака:

Легко убедится, что с возрастанием n, члены ряда убывают по абсолютной величине и. Таким образом, исследуемый ряд сходится.