5.4 Степенные ряды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональным рядом называют выражение

,

члены которого являются функциями отx, определенными на некотором множестве X.

Если задать переменной числовое значение, то получится числовой ряд,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной и определяется как

.

Например, ряд

сходится, если (члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем), и расходится, если.

Областью сходимости ряда служат два промежутка и.

Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды, которые записывают:

,

где - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда;- центр области сходимости ряда.

Если степенной ряд принимает вид:

.

Рассмотрим свойства степенных рядов на примере ряда (*), т.к. любой степенной ряд общего вида легко преобразовать к виду (*) подстановкой .