1.1 Общие сведения

В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой. В науке нередки случаи, когда для определения значения некоторой величины необходимо установить значения, совместно принимаемые несколькими независимыми переменными.

Так, например, объём кругового цилиндра есть функция от радиусаего основания и от высоты; зависимость между этими переменными выражается формулой, которая даёт возможность определить значение объёма, зная значения двух переменныхи.

Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке: температуры, плотности, напряжений и т. д. Все эти величины можно рассматривать как функции координат точки, то есть как функции от трёх независимых переменных.

Функции, зависящие от двух и более переменных, называют функциями нескольких переменных.

Наиболее часто приходится иметь дело с функцией от двух переменных. Рассмотрим на плоскости Oxy некоторое множество точек с координатами и обозначим его через D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину называют функцией независимых переменных и на множестве D, если каждой паре этого множества по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение величины .

Множество D называют областью определения функции . Переменные и по отношению к функции называют ее аргументами. Функции нескольких переменных могут быть заданы в явном и неявном виде. Функциональная зависимость между и,обозначается различными способами:,,и т.д.

Если паравзята из области, то называют частным значением функции , которое она принимает, когда.

Пример. Найти область определения функции . Найти частное значение функции в точке.

РЕШЕНИЕ

Квадратный корень определён в случае, если подкоренное выражение является неотрицательным. Поэтому функция определена при тех действительных значениях переменныхи, для которых одновременно выполняются следующие условия:и. Геометрическое изображение решения системы неравенств (область определения функции) представлено на рис. 1.

Частное значение функции в точке равно.

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x,у) плоскости.

Подобно тому, как функция геометрически изображается графиком, можно геометрически задать функцию, ставя в соответствие каждой точкеаппликату. Мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство называютуравнением поверхности.

Пример. Пусть задана функция . Ее область определения найдем из неравенства, т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусомr (рис. 2). Графиком функции является верхняя половина сферы (разрешив уравнение сферы относительноz, получим две однозначные функции :и).

Рассмотрим функцию и точку.Полным приращением функции в точкеназывают разность.

Если изменение функции происходит при изменении только одного из аргументов, напримерх, при фиксированном значении другого аргумента - у, то функция получит приращение

_,

которое называют частным приращением функции пох.

Также задается частное приращение по переменной :_.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию называют непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениямисоответствует бесконечно малое приращение, т.е.

, где .

Обозначим через, ачерез. Тогда из того, чтоиследует, чтои. И условие непрерывности функцииможно записать в виде:

или .

Это равенство означает, что функция непрерывна в точке , если предел функции равен значению функции в предельной точке.