3.5 Приложения интегрального исчисления к геометрии Применение определенных интегралов к вычислению площадей

1. Рассмотрим фигуру (рис.13), ограниченную линиями,,и, гденепрерывная на отрезкенеотрицательная функция. Площадь такой фигуры вычисляется по формуле

.

2. Если на(рис. 14), то , а так как площадь фигуры есть величина положительная, то

или .

3. Рассмотрим замкнутую фигуру (рис. 15), ограниченную кривыми

, и двумя вертикальными прямымии.

Тогда площадь S можно вычислить как разность площадей криволинейных трапеций:

и ,

т.е. или.

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

(рис. 16).

РЕШЕНИЕ

Используем формулу .

Тогда .

.

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями и.

РЕШЕНИЕ

Чтобы найти область интегрирования, найдем точки пересечения параболы и прямой. Исключим неизвестную и получим квадратное уравнение

Рис. 17

.

Следовательно, кривые пересекаются в точках с координатами и.

Используем формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми :

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями гдеидифференцируемые функции, то

.

Справедливость формулы следует из правила замены переменной в определённом интеграле в предположении, что приипри.

ПРИМЕР. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями:

РЕШЕНИЕ

Эллипс – фигура, симметричная относительно осей координат. Для упрощения вычислений найдем площадь четверти эллипса. Пусть переменная изменяется отдо. Подставимв уравнение, тогда, и. Если, тои, т. е., а. Поэтому площадь равна:

.

Рассмотрим фигуру , ограниченную линией, заданной в полярных координатах, и двумя лучами:и. Функцияположительная и непрерывная для всех, удовлетворяющих неравенству.

Чтобы вычислить площадь криволинейного сектора, разобьём его лучами наэлементарных секторов (см. рис. 19). Криволинейный секторзаменим круговым сектором. Его площадь равна, где- центральный угол кругового сектора,- радиус окружности. Так как мы имеемсекторов, то площадь ступенчатой фигурыравна

.

Увеличивая число разбиений таким образом, чтобы получим, что .

ПРИМЕР.Вычислить площадь фигуры, ограниченную лемнискатой (рис.20).

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся симметричностью фигуры и вычислим четвёртую часть площади. Угол изменяется отдо, следовательно, площадь равна

.

Площадь всей фигуры : .