1 Случай.

Рассмотрим рациональную функцию , знаменатель которой можно разложить в виде:

,

тогда дробь можно представить в виде суммы простейших дробей первого типа:

,

где неизвестные коэффициенты, которые можно найти методом неопределенных коэффициентов (см. пример ниже).

После этого интеграл можно представить в виде суммы интегралов

.

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

1 шаг. Согласно теореме дробь можно разложить на сумму простых дробей:

.

2 шаг. Методом неопределенных коэффициентов найдем неизвестные числа . Для этого приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей:

.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями :

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества и получим систему из двух уравнений:

откуда

3 шаг. Представим дробь в виде суммы простейших дробей

и найдем интеграл

.