Интегрирование дифференциальных уравнений

Для целого ряда дифференциальных уравнений решение представимо в виде степенного ряда, коэффициенты которого можно определить с учетом заданного уравнения и начальных условий различными способами. Рассмотрим на примерах один из них.

ПРИМЕР. Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию.

РЕШЕНИЕ

Будем искать решение уравнения в виде степенного ряда:

.

Подставляя в уравнение начальное условие, находим:

.

Дифференцируя последовательно уравнение по переменной , получим:

, .

Полагая и используя значения,,, находим последовательно,.

Подставив полученные значения в ряд, получим: .