Неопределенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию F(x), производная которой равна подынтегральной функции, называют первообразной.

Как нахождение производной было одной из основных задач дифференциального исчисления, так нахождение первообразной является одной из основных задач интегрального исчисления.

Например, рассмотрим функцию . Мы знаем, что. Функцияпервообразная для функции.

Если найти производные от функций ,,, где- произвольная постоянная величина, то все они равны. Следовательно, любая из функцийявляется первообразной для функции.

ТЕОРЕМА 2. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим, что функция имеет первообразную функцию. Тогда функцияпри всякой постояннойбудет также первообразной, так как. Итак, функцияимеет бесчисленное множество первообразных.

Пусть функции и- первообразные для функции, т.е.и. Тогда. Но. Следовательно,.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность всех первообразных для подынтегральной функции называется неопределенным интегралом.

Неопределенный интеграл обозначается также как и определенный, только без указания границ, т.е. если , то

.

Из этой формулы следуют равенства:

1. ,

3. ,

4. .

График первообразной для функции называетсяинтегральной кривой функции .

Из определения неопределенного интеграла как совокупности первообразных следует, что семейство всех интегральных кривых может быть получено параллельным переносом линиина величинув направлении оси ординат (рис. 10).

В таблице 1 приведены производные и первообразные для основных элементарных функций.

ТАБЛИЦА 1

Связь между определенным и неопределенным интегралом показывает формула НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА.