Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (*)

где - функции непрерывные на некотором промежутке.

Это уравнение называется уравнением с правой частью или неоднородным.

Если то уравнение имеет вид

(**)

и называется уравнением без правой части или однородным.

ТЕОРЕМА 1. Если функции - линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их линейная комбинацияявляется общим решением того же уравнения. Здесь- произвольные постоянные.

Замечание: функции называются линейно независимыми, если их отношение не равно постоянной величине, т.е.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Продифференцировав дважды функцию : ,и подставив ив левую часть уравнения, получим:

.

Так как функции ипо условию теоремы есть решения уравнения, то выражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функцияудовлетворяет исходному уравнению, а поскольку она зависит от двух произвольных постоянных, то является общим решением уравнения.

ТЕОРЕМА 2. Общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. .

Здесь - общее решение неоднородно уравнения;- общее решение однородного уравнения;- частное решение неоднородного уравнения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через общее решение однородного уравнения, а через- какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим функцию . Имеем,.

Подставляя выражения для в левую часть уравнения (*), получим:

.

Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, т. к. - решение однородного уравнения, а выражение во второй квадратной скобке равно, т. к.- решение неоднородного уравнения. Следовательно, функцияесть решение уравнения. Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных, то оно и есть общее решение уравнения.