4.4 Задачи на составление дифференциальных уравнений

ПРИМЕР.

Пусть население некоторого территориального образования составляет на данный момент времени человек. Предполагая, что скорость прироста населения пропорциональна его начальному количеству, найдем закон, по которому можно определить количество населения в любой другой год.

РЕШЕНИЕ.

Учитывая, что скорость изменения величины есть производная, и, обозначив коэффициент пропорциональности черезk , получим дифференциальное уравнение: . Преобразуем его к виду:.

Проинтегрировав, , получим общий интегралили.

Пусть в рассматриваемый (начальный) момент времени t₀=0 население составило 200 тыс. человек. При благоприятных условиях ежегодный прирост составил 2%. Определить количество населения через 10 лет.

Итак: t₀ = 0, x₀ = 200 подставляя в функцию , находим, что=200, то есть.

Т.к. ежегодный прирост составил 2%, то

при t₁ = 1.

Используя полученные значения x₁ и t₁ , найдем k из уравнения :,.

Поэтому уравнение примет вид:

.

Через 10 лет населения составит:

,

ПРИМЕР. При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его имеющейся массе. Через 2 часа после начала брожения масса фермента составила 2 г, а через 3 часа – 3 г. Какова была первоначальная масса фермента?

РЕШЕНИЕ

Обозначим через - время,- массу фермента послечасов после начала брожения. Тогда скорость прироста действующего фермента равна.

По условию скорость роста фермента пропорциональна его массе, поэтому где- коэффициент пропорциональности. Таким образом, получили дифференциальное уравнение. Найдем общее решение этого уравнения с разделяющимися переменными

Полученное равенство выражает зависимость массы фермента от времени брожения.

Чтобы найти содержащиеся в этом равенстве постоянные, используем заданные условия

Подставив эти условия в, получим систему, из которой найдем и:

Теперь равенство примет вид . Равенство дает возможность вычислить массу фермента в любой момент времени.