Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть имеется дуга некоторой кривой, впишем в неё ломаную линию, и будем увеличивать число звеньев ломаной таким образом, чтобы наибольшая из длин отрезков стремилась к нулю (рис. 21). Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от того, какие ломаные мы вписываем, то дуга называетсяспрямляемой, а предел - длиной этой дуги.

Рассмотрим задачу о вычислении длины дугикривой, заданной в декартовой системе координат, если- дифференцируемая функция, имеющая непрерывную производную в промежутке, причем точкамисоответствуют значенияи.

Пусть - вписанная ломаная. Её вершинам соответствуют значенияи. Произвольно выберем отрезоки вычислим его длину (рис. 22): , где ,,.

По теореме Лагранжа о конечных приращениях

.

Подставим и получим

.

Для периметра всей ломаной получим формулу:

,

и так как длина дуги по определению равна пределу данной интегральной суммы, можем записать

.

При параметрическом способе задания кривой

так как , а, имеем

,

где и- значения параметра на концах дуги, причём,.

В случае если кривая задана в полярных координатах , длина дуги,

где и- значения аргументана концах дуги кривой.

ПРИМЕР. Найти длину дуги кривой ,если изменяется от 0 до 1.

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся формулой . Найдём:. Подставим полученную производную в формулу длины дуги, тогда

.