Критерий качества процесса

Рис. 4.2

Введем новую переменную

Тогда получим

Решим следующую вариационную задачу: требуется найти такое допустимое управление процессом (4.19), чтобы за минимальный промежуток времени поток выпуска достиг потребности, т.е. выполнялось равенство (рис.4.2):

Функция f равняется Поэтому

Для решения вариационной задачи применим принцип максимума. Составим функцию Гамильтона [19]

и сопряженную систему уравнений

(4.21)

На правом конце траектории при должно выполняться условие трансверсальности

или исключая множитель , получим

(4.22)

где – произвольная, но отрицательная постоянная.

Согласно принципу максимума, функция Н достигает максимума на допустимых управлениях для каждого фиксированного t. Из этого условия и того, что , получим:

(4.23)

Из выражения (4.23) следует, что управление состоит из кусочно-постоянных участков. Пусть – интервал постоянства управления, тогда при из системы (4.3) следует, что

, (4.24)

где – начальное значение мощности в момент времени .

Из системы (4.20) получим

(4.25)

где – постоянная интегрирования.

При величину определим из условий (4.22):

(4.26)

В эту систему входит неизвестная постоянная . Из формул (4.21) и (4.22) следует соотношение

(4.27)

Используя (4.26) и (4.27), найдем

(4.28)

Согласно принципу максимума . В остальном величина произвольная. Поэтому постоянная имеет произвольную величину, но знак, противоположный знаку величины

Введем следующее предположение относительно начального условия. Если , то до момента удовлетворения потребностей . В самом деле, для выполнения неравенства в силу непрерывности функций , необходимо достижение равенства в некоторый момент времени , т.е. удовлетворение потребности раньше времени Т. Поэтому все время . Аналогично, если , то все время до удовлетворения потребностей выполняется неравенство . Только в момент удовлетворения потребностей достигается равенство . Функция к потребности приближается снизу. При этом в окрестности точки встречи и, тем более, Тогда из формулы (4.28) следует . Для конкретности примем . Рассмотрим первый случай .

Тогда управление будет максимальным . Для этого убедимся в справедливости данного неравенства, осуществляя следующие вычисления:

(4.29)

Решение уравнения (4.24) будет

. (4.30)

Во втором случае же, когда и , а для проверки проведем вычисления по формуле (4.29) с управлением

Решение уравнения (4.24) будет

. (4.31)

Для определения времени в первом случае подставим его в (4.30) и приравняем

(4.32)

Во втором случае в (4.32) вместо надо подставить . Для определения необходимо уравнение (4.32) решить графо-аналитическим способом.

Решение задачи. Положим млн. руб., млн руб./год.

Вычислим производные по формуле (4.29):

(4.33)

Следовательно, и по формуле (4.28) получим

(4.34)

так как . Тогда управление будет максимальным , то есть, выбрано правильно.

Далее, для определения оптимального значения затабулируем функцию (4.31)

(4.35)

и функцию потребности

(4.36)

или решим уравнение (4.32) графо-аналитическим методом:

(4.37)

Таблица 4.2

По результатам расчета построим графики функций и .

млн руб./год

млн руб.

600

500

400

300

200

100

лет

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 4.3