Для решения оптимизационной задачи воспользуемся методом динамического программирования р. Беллмана [7, 17]. Для этого сведем ее к многошаговому управляемому процессу.

Введем обозначения:

(4.39)

Модель (4.38) с учетом обозначений (4.39) примет вид:

(4.40)

Введем функцию , которую определим следующим образом

(4.41)

при этом

(4.42)

Освободимся от ограничения (4.42), введя в целевой функционал штрафной терминальный член

(4.43)

где – произвольно большое число.

Тогда окончательная форма нашей математической модели примет следующий вид:

(4.44)

Для модели (4.44) запишем уравнение Р. Беллмана с краевым условием [7]:

(4.45)

где – оптимальное управление в форме синтеза.

Решение задачи. Положим , млн руб.

Запишем функции эффективности

(4.46)

С учетом обозначений (4.39) для получим

(4.47)

Итерация 1.

В соответствии с (4.45) и (4.47) имеем

(4.48)

Так как – произвольное сколь угодно большое число, максимум в фигурных скобках (4.48) достигается, если множитель при М обратить в нуль, то есть

(4.49)

При этом

Итерация 2.

В соответствии с (4.45) и (4.47) имеем

(4.50)

где многоточие относится ко всем остальным слагаемым, не зависящим от аргумента максимизации , то есть .

Анализируя выражение (4.50) в фигурных скобках, приходим к выводу, что если , то максимум будет при . Если , то максимум будет определяться следующим образом

Найдем экстремум этой функции

откуда

то есть получаем

(4.51)

В результате получаем следующее оптимальное распределение между двумя предприятиями капитальных вложений:

(4.52)

Выводы: оптимальное распределение 40 млн руб. капитальных вложений между двумя предприятиями при критериях эффективности (4.46) будет следующим: млн руб., млн руб.