3.2.4. Аппроксимация областей допустимых вариаций проектных

параметров

При решении задач параметрического синтеза в процессе проектирования сложной многоуровневой иерархической системы возникает весьма сложная проблема построения областей допустимых вариаций проектных параметров и распределение ограничений на проектные параметры в соответствии с ограничениями на цели подсистем. Для решения этой проблемы предлагается метод, в котором применение алгоритмов основано на аппроксимации областей допустимых вариаций параметров множествами с достаточно простой структурой для использования ЭВМ.

Постановка задачи 1. Пусть для исследуемой многоуровневой системы определены для целевой подсистемы совокупность показателей качества функционирования , которые являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями проектных параметров, монотонно возрастающими или убывающими по каждому параметру при остальных фиксированных. Ухудшение показателей качества функционирования целевой подсистемы допускается только в определенных пределах

(3.70)

Введем безразмерные функционалы по формулам (3.67), тогда условие (3.70) будет иметь вид

(3.71)

Проектные параметры целевой подсистемы принимают свои значения из некоторой замкнутой ограниченной области , во всех точках которой определены показатели качества , причем в результате предварительных исследований предполагаются известными некоторые номинальные значения проектных параметров

где “т” – символ транспонирования, и соответствующие им значения показателей качества функционирования , при этом

Рассмотрим задачу аппроксимации областей допустимых вариаций проектных параметров целевых подсистем выпуклыми полиэдральными множествами [10].

Определим область как множество возможных отклонений проектных параметров от их номинальных значений , при которых значения показателей качества функционирования целевой подсистемы находятся в заданных пределах

(3.72)

где – отклонения параметров от номинальных значений для соответствующих . Следовательно, , где .

Введем также для соответствующих m-мерные векторы , , следующего вида:

;

;

,

то есть каждый последующий вектор отличается от предыдущего всеми возможными соответствующими заменами компонент вектора на компоненты вектора ,а величины определяются соотношениями:

(3.73)

(3.74)

где

Ставится следующая задача: определить область независимых вариаций проектных параметров относительно их номинальных значений, для которых допустимые ограничения на критерии качества функционирования целевой подсистемы (3.72) не нарушаются.

Алгоритм численного решения задачи сводится к выделению в области допустимых вариаций проектных параметров выпуклого полиэдрального подмножества и базируется на следующей теореме [3, 10].

Теорема 3.1. Пусть показатели качества представляют собой в области выпуклые и вогнутые монотонные функции параметров целевой подсистемы. Тогда для выполнения ограничений (3.72) достаточно, чтобы отклонения параметров принимали значения из .

Алгоритм численного решения. Для того чтобы выделить в области допустимых вариаций проектных параметров выпуклое полиэдральное подмножество, необходимо осуществить следующую последовательность вычислений [10].

1. В результате предварительных исследований предполагаются известными номинальные значения проектных параметров и соответствующие им значения показателей качества функционирования целевой подсистемы , причем .

2. Вычисляем все производные от функционалов качества по всем проектным параметрам в точке , то есть

3. Зададимся произвольными положительными вариациями проектных параметров и вычислим значения всех функционалов для каждой вариации в отдельности, то есть

4. Затем, в зависимости от знака производных от функционала качества по варьируемому параметру и его численного значения, подбираем по формулам (3.50), (3.51) форму записи соответствующего компонента вектора .

5. Полагая , вычисляем методом итераций такие вариации , при которых функционалы качества функционирования целевой подсистемы находятся на границе области допустимых значений, то есть или .

6. Корректируем найденные вариации параметров таким образом (например, одновременно равномерно уменьшая их), чтобы выполнялось условие

где (в зависимости от результата решения п. 4).

7. Далее, согласно теореме 3.1, формируем следующий вектор . Для этого заменяем знак вариации, например, на противоположный и осуществляем последовательно вычисления с п.3 по п.6 . Затем переходим к формированию следующего вектора и так далее до N=2^m для каждого .

Таким образом, осуществляется построение множеств .

8. Для построения области необходимо выбрать такие вариации проектных параметров, чтобы их абсолютные значения имели по индексу наименьшие значения, то есть, чтобы они принадлежали области

.

Постановка задачи 2. Рассмотрим теперь другой практически важный случай, когда отклонения проектных параметров от их номинальных значений должны иметь симметричный характер, т.е. определяются соотношениями

(3.75)

Иначе говоря, значения проектных параметров целевой подсистемы могут принимать произвольные значения из симметричных интервалов , при этом предполагается, что статистические характеристики распределения a_j в пределах этого интервала неизвестны. Тогда, естественно, использовать в качестве области допустимых вариаций проектных параметров симметричную область , полученную из области путем ее симметричного отображения относительно плоскостей, параллельных координатным плоскостям и проходящих через точку а⁰.

. Для этого воспользуемся матрицами отображения , представляющими собой диагональные матрицы размерности с элементами, равными 1 [1, 3].

Очевидно, что

,

где Е – единичная матрица соответствующей размерности. Индекс k матрицы отражения определяет фиксированную комбинацию знаков диагональных элементов и соответственно координатные гиперплоскости, относительно которых осуществляется симметричное преобразование области . Следовательно, симметричная область допустимых вариаций проектных параметров целевой подсистемы определяется как

(3.76)

Рассмотрим некоторые свойства области [3, 10].

Теорема 3.2. Симметричная область , является выпуклым множеством пространства вариаций проектных параметров, для выпуклых и вогнутых показателей качества функционирования целевой подсистемы .

Необходимо отметить, что дальнейшие операции над аппроксимирующими множествами можно производить для положительных вариаций проектных параметров, а границы области для остальных вариаций могут быть получены в случае необходимости путем элементарной замены знаков соответствующих коэффициентов линейных форм.

Следствие 3.1. Для выполнения ограничений (3.72) при симметричных отклонениях проектных параметров целевой подсистемы (3.75) необходимо, чтобы величины принадлежали области

(3.77)

где P²(R⁺) соответствует пересечению симметричного полиэдрального множества с пространством положительных вариаций параметров

Следствие 3.2. При симметричных отклонениях проектных параметров для выполнения ограничений (3.72) достаточно, чтобы они принадлежали области

(3.78)

где ,

– определяются соотношениями (3.74), (3.75).