4.4. Оптимальная корректировка плана развития предприятия

Постановка задачи. Определим сначала режим планового развития однопродуктового предприятия. Для этого можно взять оптимальную траекторию развития, полученную из решения оптимальной задачи в разделе 4.2, то есть

(4.53)

Отклонения от режима планового развития, вызванные изменениями внешней окружающей среды организации, характеризуются следующими величинами:

где символ (*) означает режим планового развития.

Величину отклонения потока инвестиций примем в качестве управления .

Уравнения материального баланса основных производственных фондов ОПФ в отклонениях имеет вид:

(4.54)

где – бесконечный горизонт планирования.

Сформулируем задачу оптимальной корректировки планового режима развития предприятия: найти такое оптимальное управление , чтобы соответствующее ему решение системы (4.54) доставляло минимум функционалу

(4.55)

где – весовые коэффициенты .

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом динамического программирования Р. Беллмана [7, 17].

Запишем уравнение Р. Беллмана для непрерывных систем

(4.56)

Необходимое условие минимума (равенство первой производной от правой части (4.56) по управлению нулю):

(4.57)

Вторая производная, равная , дает достаточное условие минимума.

Разрешая (4.57) относительно , получим

(4.58)

Это выражение содержит неизвестную функцию . Для ее определения необходимо подставить (4.58) в уравнение (4.56), то есть

(4.59)

Для простоты допустим, что [20], тогда получим

(4.60)

Решение уравнения (4.60) будем искать в виде квадратуры

(4.61)

Для определения искомой величины а, подставив (4.61) в уравнение (4.60) и приравняв множители при , получим

(4.62)

откуда

(4.63)

Устойчивому состоянию системы соответствует только знак (+) перед корнем в выражении (4.63), поэтому оптимальное управление будет иметь вид:

(4.64)

Необходимо отметить, что в экономических задачах получение управления в виде синтеза соответствует экономическому регулированию (корректировке плана).

Подставляя (4.64) в уравнение (4.54), получим замкнутую управляемую систему

(4.65)

Реализация корректирующих управляющих воздействий по отклонениям показателей плана осуществляется следующим образом. Плановые органы, на основании годового контроля могут определить отклонения значений ОПФ от плановых и на их основе по формуле (4.64) вычислить величину, на которую следует скорректировать запланированные капитальные вложения.

Решение задачи. Положим млн руб., 1/год.

Решения уравнений (4.65) имеют вид:

, (4.66)

при этом оптимальное управление будет

. (4.67)

Для нашего конкретного случая

Определим 5%-ную трубку по формуле .

Проведем вычисления до момента захода процесса в 5%-ную трубку, а результаты вычислений сведем в табл. 4.3.

Таблица 4.3

По результатам вычислений построим графики функций и .

млн. руб.

млн. руб./год

0,5

0 лет

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-0,5

-1,0

-1,5

-2,0

Рис. 4.4

Оптимальная коррекция плана, осуществляемая по программе (4.67) капитальных ежегодных дополнительных вложений, стабилизирует процесс за 8,7 лет.

4.5. Аналитическое проектирование многоотраслевой экономики

Рассмотрим начальный этап аналитического проектирования экономического объекта – двухотраслевой экономики.

Верхний уровень. Основным назначением отраслей экономики является удовлетворение потребности населения региона в данном виде продукции выпускаемой отраслями.

Поэтому главной целью аналитического проектирования отраслей, определяемой социальной программой (СП) развития региона, является благосостояние региона в обеспечении данными видами продукции выпускаемой отраслями, которое можно оценить достаточно общим критерием – функционалом благосостояния системы в виде

(4.68)

где – входной параметр целевой подсистемы верхнего уровня; – внепроизводственное потребление – функция полезности; – норма дисконтирования, причем

(4.69)

СП развития региона накладывает на входной (целевой) параметр ограничения в виде неравенств:

(4.70)

Математическую модель целевой подсистемы , устанавливающую зависимость целевого параметра (4.68) от основных проектных параметров (управляющих функций), можно записать в виде следующих соотношений [12]:

(4.71)

где – инвестиции в развитие подотраслей региона в момент времени t; – вектор состояния ОПФ отраслей в момент времени t; – коэффициент ежегодного выбытия ОПФ в j-й отрасли; – норма затрат продукции i-й отрасли на воспроизводство единицы продукции j-й отрасли; – параметры модели, – время освоения неосвоенных ОПФ в j-й отрасли.

Выходными параметрами целевой подсистемы, наиболее существенно влияющими на величину целевого параметра, будут – управления – поток инвестиций в развитие j-й отрасли.

На данном уровне формируются и решаются две задачи: задача выбора номинальных значений проектных (управляющих) параметров, которая формируется как оптимизационная задача и задача распределения ограничений на проектные параметры целевой подсистемы .

Задача выбора номинальных значений проектных параметров. Задача оптимизации состоит в выборе такого управления в заданном интервале времени, чтобы соответствующее ему решение уравнения (4.71) доставляло максимум функционалу (4.68).

Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума Л.С. Понтрягина.

Введем функцию Гамильтона

(4.72)

где удовлетворяют сопряженной системе уравнений:

(4.73)

или

с конечными условиями

(4.74)

Зададим структуру , тогда

(4.75)

или

(4.76)

Пусть управление изменяется в некотором допустимом диапазоне

(4.77)

где в соответствии с принципом максимума оптимальное управление определяется из условия

(4.78)

где – функции переключения.

Пусть на управление наложены ограничения

тогда в соответствии с принципом максимума оптимальное управление определяется из условия

Это задача линейного программирования, которая имеет следующее решение:

(4.79)

Для сопряженной системы имеем

(4.80)

откуда

Функции переключения представим в виде

(4.81)

которые при равняются

Следовательно, в точке и в некоторой ее окрестности получим

Моменты времени и , когда , определяются по формулам:

(4.82)

Теперь в соответствии с условиями (4.79) на отрезке времени нужно выделить промежутки, где . Как известно [7] количество точек переключения не превосходит трех. Первая точка переключения в нашем случае будет равна или в зависимости от условий (4.79). Так как это уравнение имеет не более двух решений, то вторая или вторая и третья точки переключения определяются из условия

или

(4.83)

получим вторую точку переключения . Решение уравнения (4.83) можно легко найти графо-аналитическим методом.

При первая отрасль как возможно большую долю чистого выпуска отправляет на развитие собственной мощности, а меньшую долю на внепроизводственное потребление, если же , то все наоборот.

Аналогичные рассуждения можно провести и для второй отрасли.

Задача распределения ограничений на проектные параметры целевой подсистемы . Здесь определяется область допустимых изменений проектных функций, соответствующая ограничениям, которые накладывают СП развития региона на входной (целевой) параметр подсистемы

(4.84)

Ограничения на управляющие функции в соответствии с этим требованием

можно определить следующим образом.

Так как оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, то уравнения (4.71) можно решить аналитически. Решение будет иметь следующий вид:

(4.85)

Теперь подставим решения (4.85) в функцию полезности (4.69), а затем подставим ее в целевой функционал (4.68) и проинтегрируем его. В результате получим:

где

Следовательно, учитывая неотрицательность вводимых инвестиций

получим предельные значения инвестиционных вложений в виде:

откуда

(4.86)

где

В результате их решения будем иметь оптимальные (номинальные) значения выходных параметров целевой подсистемы с допустимыми областями их возможных изменений.

По выходным параметрам целевой подсистемы верхнего уровня определяется количество и класс подсистем первого уровня, так как они назначаются входными (целевыми) параметрами подсистем первого уровня.

Первый уровень. Анализируя и группируя выходные параметры верхнего уровня в виде подцелей различных задач, можно, например, сформировать следующие подсистемы первого уровня 1.

Итак, целевая подсистема первого уровня имеет следующие входные (целевые) параметры с допустимыми областями их изменения:

(4.87)

где – объем вводимых в действие ОПФ в момент времени t.

Перейдем к безразмерной форме критериев по формулам [18]:

(4.88)

тогда условия (4.87) примут вид

(4.89)

Выходными (управляющими) параметрами целевой подсистемы , наиболее существенно влияющими на величину целевых параметров, будут – норма затрат продукции i-й отрасли на воспроизводство единицы продукции j-й отрасли; – доля конечной продукции, вкладываемая в расширение производства из i-й отрасли в j-ю и называемая долей накопления

(4.90)

Пусть проектируемые отрасли работают на полную мощность, тогда наиболее простая математическая модель целевой подсистемы , устанавливающая зависимость целевых параметров (4.87) от проектных параметров первого уровня, запишется в следующем виде:

(4.91)

На данном уровне также формируются и решаются две задачи: задача выбора номинальных значений проектных (управляющих) параметров и задача распределения ограничений на проектные параметры целевой подсистемы .

Критерий качества функционирования экономики вычисляется по формулам (4.88), в которых определяется при , а производная от критерия качества по управляющим параметрам имеет вид

(4.92)

Вычислим следующие производные:

(4.93)

Вторые производные от критериев качества можно вычислить по следующим формулам:

(4.94)

Преобразуя систему уравнений (4.91), исключая промежуточные переменные и полагая , получим:

(4.95)

Для определения состояния ОПФ отраслей воспользуемся методом решения системы однородных линейных дифференциальных уравнений. Для этого введем следующие обозначения:

(4.96)

Характеристическое уравнение системы уравнений (4.95) примет вид

(4.97)

откуда получим следующие корни характеристического уравнения

. (4.98)

Если корни характеристического уравнения , различны, то решение системы уравнений (4.95) будет иметь вид:

(4.99)

Матрица S неособая, то есть . Она формируется из собственных векторов, соответствующих собственным числам матрицы , то есть корням характеристического уравнения (4.98), следующим образом:

(4.100)

Перемножая матрицы (4.100), получим:

(4.101)

Элементы собственных векторов определяются с точностью до постоянной. Положим . Остальные элементы собственных векторов определим из любого уравнения системы (4.101), так как они являются линейно зависимыми, например, из первого.

(4.102)

Обратная матрица

(4.103)

где

(4.104)

Следовательно, необходимо задать начальные условия для , тогда задача нахождения ОПФ отраслей будет решена полностью.

(4.105)

где

Обозначим

тогда производные по параметрам от функций (4.105) будут

(4.106)

где

Далее вычислим следующие производные

В соответствии с разработанной теорией (см. глава 3) задача выбора номинальных значений управляющих параметров целевых подсистем сводится к решению следующей минимаксной задачи:

(4.107)

Для решения этой задачи воспользуемся математической моделью нашей целевой подсистемы в отклонениях. Пусть управляющие параметры получили малые приращения, и новые их значения имеют вид

После этого все характеристики целевой подсистемы получат малые приращения.

Линейные части приращений функционалов качества (4.89) имеют вид

(4.108)

где производные вычисляются по формулам (4.92), (4.93), т. е. получаем явную зависимость приращений от приращений управляющих функций . Поэтому данную проблему можно свести к вспомогательной задаче: определить приращения из условия минимума (4.108) для максимальной по величины по формулам

(4.109)

где – малый параметр, определяющий шаг итерации.

Алгоритм численного решения задачи выбора номинальных значений управляющих параметров

1. Выберем из статистики нормативные значения всех параметров для рассматриваемой экономики – .

2. Задаемся начальными нормативными значениями управляющих параметров – и, следовательно, .

3. Вычисляем и по формулам (4.92) – (4.93).

4. Рассчитываем по формулам (4.106) .

5. Вычисляем по формулам (4.88) с учетом (4.91) и для большего из них определяем приращения по формулам (4.109).

6. Определяем улучшенные управления по формулам ,

и повторяем все вычисления, начиная с п.4, до тех пор, пока не будет выполнено условие (4.107), т. е. пока не найдем решение минимаксной задачи.

В соответствии с разработанной теорией, изложенной в главе 3, задача распределения ограничений на управляющие параметры целевой подсистемы сводится к решению следующей задачи:

(4.110)

где

величины определяются по формулам (3.73), (3.74), которые требуют вычислений

(4.111)

В результате их решения будем иметь номинальные значения выходных параметров целевой подсистемы с допустимыми областями их возможных изменений.

Алгоритм численного решения задачи распределения ограничений на управляющие параметры

1. Найденные выше номинальные значения управляющих параметров и соответствующие им критерии качества являются исходными для решения задачи.

2. Вычисляем по формулам (4.92) – (4.94) производные от функционалов для номинальных значений управляющих параметров, то есть:

, , .

3. Задаемся произвольными положительными вариациями управляющих параметров , и вычисляем значения критериев качества для каждой вариации, т. е. для .

4. В зависимости от знака производных , и численных значений критериев выбираем по формулам (3.73), (3.74) форму записи соответствующего компонента вектора .

5. Полагая , определяем методом итераций такие вариации , при которых критерии качества находятся на границе области допустимых значений, то есть или .

6. Корректируем найденные вариации так, чтобы выполнялось условие

, ,

где .

7. Затем решаем задачу максимизации

8. Для каждой вариации управляющего параметра выбираем минимальные по абсолютной величине значения величин по индексу :

В результате для каждого управляющего параметра определяем диапазон независимого изменения

Итак, при решении задач целевой подсистемы получены выходные параметры, управляющие параметры (номинальные значения – нормы затрат продукции i-й отрасли на воспроизводство единицы продукции j-й отрасли; – доли конечной продукции, вкладываемая в расширение производства из i-й отрасли в j-ю и называемая долей накопления) с ограничениями, соответствующими требованиям (4.87), которые также являются входными параметра- ми – критериями качества для подсистем следующего уровня.

Решение задач. Исходные данные для решения задачи аналитического проектирования двухотраслевой экономики.

млн руб., млн руб., лет, год, ,

млн руб., млн руб.

1/год, 1/год,

, , , ,

, , , ,

Верхний уровень. Задача выбора номинальных значений проектных параметров. На уровне формируется и решается задача выбора номинальных значений проектных (управляющих) параметров, которая формируется как оптимизационная задача.

Вычислим по формулам (4.82):

Определим из условия (4.83) вторую точку переключения

откуда, используя графо-аналитический метод решения, получаем лет.

Для определения первой точки переключения, построим решения функций переключения в соответствии с выражениями (4.81)

Таблица 4.4

Следовательно, на отрезке времени управление имеет вид:

на отрезке времени

на отрезке времени

Задача распределения ограничений на проектные параметры целевой подсистемы . Здесь определяется область допустимых изменений проектных функций соответствующая ограничениям, которые накладывает социальная программа развития региона на входной (целевой) параметр подсистемы

млн руб.

55

17

лет

млн руб.

96

30

лет

0 5,64 9,3 10

О граничения на управляющие функции в соответствии с этим требованием

м ожно определить следующим образом.

Рис. 4.5

а затем определим предельные значения

Следовательно

В результате решения этих задач будем иметь оптимальные (номинальные) значения выходных параметров целевой подсистемы с допустимыми областями их возможных изменений.

Первый уровень. На данном уровне также формируются и решаются две задачи: задача выбора номинальных значений проектных (управляющих) параметров и задача распределения ограничений на проектные параметры целевой подсистемы .

Задаемся начальными нормативными значениями управляющих параметров

Безразмерные критерии вычисляем по формулам:

Вычислим следующие производные

Вторые производные от критериев качества можно вычислить по следующим формулам:

Преобразуя систему уравнений (4.95) и исключая промежуточные переменные, получим:

Для определения ОПФ отраслей воспользуемся методом решения системы однородных линейных дифференциальных уравнений. Для этого введем следующие обозначения:

Корни характеристического уравнения

.

Корни характеристического уравнения , различны, поэтому решение системы уравнений (4.95) будет иметь вид:

где

Обозначим

тогда производные по параметрам от функций (4.105) будут

где

Далее вычислим следующие производные

Так как в нашем случае

то формулы для вторых производных примут вид:

где

Задача выбора номинальных значений управляющих параметров . В результате решения данной задачи по разработанному алгоритму получим номинальные значения проектных параметров. В силу того, что целевые критерии (4.87) являются функциями времени, то и проектные параметры получаются функциями времени. Одно из решений приведено в табл. 4.5.

Таблица 4.5

При этом целевые критерии в безразмерной форме принимают соответственно следующие значения, приведенные в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Задача распределения ограничений на проектные параметры целевой подсистемы . В результате решения данной задачи по разработанному алгоритму получим области допустимых изменений значений проектных параметров, приведенные в таблице 4.7.

Таблица 4.7

Таким образом, можно осуществить аналитическое проектирование любой сложной организации.*

*Авторы выражают благодарность ведущему инженеру СБ «Татарстан» Куршеву Н.В. за помощь при проведении численных расчетов на ЭВМ.