Ряд Лорана

Рядом, обобщающим понятие степенного ряда, является ряд Лорана. Рассмотрим разложение в ряды двух функций: 1-ый ряд:

2-ой ряд:

Область сходимости 1-го ряда, если она существует, определяется неравенством:

, отсюда, , где (*)

Область сходимости 2-го ряда, если она существует, определяется неравенством:

, отсюда, , где (**), причем

О. Рядом Лорана называется ряд ⁿ, представляющий собой сумму двух рядов: , при этом 1-й ряд ­– f₁(z) - называется главной частью, а 2-й ряд ­– f₂(z) – правильной частью ряда Лорана.

Вычисление Вычетов. Определение (Т. дальше…)

О. (первое определение вычета). Если f(z) аналитическая функция в некоторой окрестности точки Z₀, за исключением, может быть, самой точки Z₀, то вычетом функции f(z)относительно точки Z₀ называется число, равное значению интеграла: выч[f(z);z₀] =

= , где γ – некоторый простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя только 1 особую (.) Z₀.

О. (второе определение вычета). Коэффициент при (–1) –ой степени разложения функции f(z)в ряд Лорана наз. вычетом функции f(z) относ. (.) Z₀: выч[f(z);z₀] = c_-1

Формулы для нахождения вычетов:

1. Пусть Z₀– полюс первого порядка функции f(z). Тогда главная часть ее разложения в ряд Лорана содержит одно слагаемое: f(z) = + c₀+c₁(z-z₀) +…. Умножим обе части данного равенства на (z – z₀) и найдем предел при z → z₀:

c_-1 + (z – z₀)c₀ + c₁(z – z₀)² +…) = c_-1. Следовательно, имеем выч[f(z);z₀] = . (Если f(z) = , то выч[f(z);z₀] = )

2. Пусть Z₀ – полюс порядка m≥2 функции f(z). Тогда выч[f(z);z₀] = [( )^mf(z)]^(m-1).

3. Пусть Z₀ – устранимая особая точка функции f(z). Тогда главная часть ее разложения в ряд Лорана отсутствует: выч[f(z);z₀] = 0.

4. Пусть Z₀ – существенно особая точка функции f(z), тогда вычет относительно ее можно найти только по разложению функции в ряд Лорана, т.к. главная часть содержит бесконечное число членов: выч[f(z);z₀] = c_-1.

5. Пусть z₀= – изолированная особая точка функции f(z), Тогда вычетом функции относительно точки z₀= является коэффициент при (–1)-ой степени разложения функции в ряд Лорана, взятый с противоположным знаком: выч[f(z); ] = -c_-1.