Дифференцируемость. Условие Коши-Римана

О. Функция ω = f(z) = u (x,y) + iv(x,y) называется дифференцируемой в точке z, если ее приращение можно записать в виде ∆ω = ∆f(z) = A∆x - B∆y + i(A∆y+B∆x) +α∆x - β∆y +

+ (α∆y + β∆x), где А и В не зависят от ∆x и ∆y, а α→0, β→0 при ∆x→0, ∆y→0.

Т. Для того чтобы функция ω = f (z) была дифференцируемой в точке z необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f ’(z) = A+ iB.

О. Если ω = f (z) имеет производную в точке z, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D плоскости Гаусса, называется дифференцируемой в области D.

Т. Дифференцируемая функция ω = f (z) в точке z (или в области D) непрерывна в этой точке (или области).

Теорема. Для того чтобы функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y), определенная в некоторой области D, была дифференцируемой в точке z этой области необходимо и достаточно, чтобы в этой области существовали непрерывные частные производные функций u(x,y) и v(x,y), и выполнялись условия , , называемые условиями Коши - Римана или Эйлера – Даламбера, кратко, условиями КРЭДа.

Следствие. Так как производная дифференцируемой функции комплексного переменного равна f ’(z) = A+ iB (по теореме 2), где A= ,B= , то она может быть найдена по одной из формул:

f ’(z) = , f ’(z) = , f ’(z) = , f ’(z) = .