Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка

Градиент, дивергенция, ротор удобно записывать с помощью оператора Гамильтона:

▼= + + . О. Действия градиента, дивергкнции, ротора называют дифференциальными операциями 1 порядка (в них учавствуют только 1-ые производные)

Правила действий с оператором Гамильтона («набла вектора»):

1. Произведение «набла вектора» ▼ на скалярную функцию u(P) дает градиент этой функции: ▼u = grad u. 2. Скалярное произведение «набла вектора»▼ на векторную функцию a(P) дает дивергенцию этой функции: ▼∙a(P) = div a(P). 3. Векторное произведение «набла вектора» ▼ на векторную функцию a(P) дает ротор этой функции ▼ a(P)=rot a(P), Диф. операции II пор., их всего 5: div grad u, rot grad u, grad div a, div rov a, rot rot a. Рассмотри их: 1. div grad u = div (▼u) = ▼∙(▼u) = (▼∙▼)u = = ∆u – лапласиан. 2. rot grad u = ▼ gradu = ▼ (▼u) = (▼ ▼)u=0. 3. grad div a = ▼div a = ( )i + ( )j + (( )k. 4.div rot a=

=▼∙rot a = ▼∙(▼ a) = 0. 5. rot rot a = ▼ rot a = ▼ (▼ a) = ▼(▼∙a) – (▼∙▼)a =

= grad div a - ▼a.