Ортогональный и ортонормированный базис

Ортогональный (ортонормированный) базис - ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, где все векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

Скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе.

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e₁,e₂,...,e_n,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент   однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда x = ,

- ряд Фурье элемента x по системе {e_n}.

Если | e_n | = 1 - ортонормированный базис. В этом случае числа a_n, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонорм-му базису {e_n}, имеют вид a_n = (x,e_n).